Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros 6 8 6 10 8 14 12 14 12 16
Número de horas sem
dormir
8 8 12 12 16 16 20 20 24 24
a) Calcule o coeficiente de correlação linear e interprete
b) Ajuste e interprete o modelo de regressão linear simples

Passo 1

O enunciado dá 10 pares de observações (X_i,Y_i) onde X_i é o número de horas sem dormir e Y_i o número de erros cometidos em adições simples. Queremos:
  • calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson entre X e Y;
  • ajustar o modelo de regressão linear simples Y = a + bX.

Passo 2

Calculamos as médias amostrais
\bar X = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i = \frac{2\,(8+12+16+20+24)}{10} =16,
\bar Y = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}Y_i = \frac{106}{10} =10{,}6.

Passo 3

Calculamos
S_{xx} = \sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2 =320.

Passo 4

Calculamos
S_{yy} = \sum_{i=1}^{10}(Y_i-\bar Y)^2 =112{,}4.

Passo 5

Calculamos
S_{xy} = \sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) =152.

Passo 6

O coeficiente de correlação de Pearson é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{152}{\sqrt{320 \times 112{,}4}} \approx 0{,}802.
Interpretação: há correlação positiva forte (quanto mais horas sem dormir, mais erros).

Passo 7

No modelo de regressão Y = a + bX, estimamos
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{152}{320} = 0{,}475,
a = \bar Y - b\,\bar X = 10{,}6 - 0{,}475\times16 = 3{,}0.
Logo o ajuste é
\hat Y = 3{,}0 + 0{,}475\,X.
Interpretação: cada hora adicional sem dormir aumenta, em média, 0{,}475 erros; com 0 horas sem dormir, predizem-se 3 erros.

Resposta

a) r \approx 0{,}802, correlação positiva forte.
b) \displaystyle \hat Y = 3{,}0 + 0{,}475\,X; a cada hora sem dormir, aumentam-se em média 0{,}475 erros.

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