Funcionários de uma empresa foram submetidos a um treinamento. Segundo os patrocinadores, a probabilidade de uma pessoa ter um melhor desempenho após o treinamento é de 90 \%. Para avaliar se o treinamento atingiu seus objetivos, você resolve extrair uma amostra de 40 funcionários. Se pelo menos 32 deles apresentarem um bom desempenho, você concluirá que o treinamento foi eficaz.
a) Se os patrocinadores estiverem corretos, qual é a probabilidade de você considerar o treinamento eficaz baseado na amostra?
b) Admita que você avaliou 40 funcionários e concluiu que menos de 30 apresentaram um bom desempenho. Baseado neste resultado é possível afirmar que o treinamento não foi eficaz? Justifique com argumentos probabilísticos. Não será aceita a argumentação de que você esperava que 90 \% dos 40 funcionários apresentassem o bom desempenho.
c) Que suposições você fez para resolver a questão?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar se a probabilidade de sucesso após o treinamento é p=0,9. Coletamos uma amostra de n=40 funcionários e usamos como critério “treinamento eficaz” o evento \{X\ge32\}, onde X é o número de funcionários com bom desempenho. Sob a hipótese dos patrocinadores H_0\colon p=0,9, temos X\sim\mathrm{Bin}(40,0,9).

Passo 2

Para a alínea (a), calculamos
P(\text{concluir eficaz}\mid H_0) =P(X\ge32) =\sum_{k=32}^{40}\binom{40}{k}(0,9)^k(0,1)^{40-k}.
Como esse somatório direto é trabalhoso, usamos a aproximação normal com correção de continuidade:
a média é
\mu = np = 40\cdot0,9 = 36,
o desvio-padrão é
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{40\cdot0,9\cdot0,1}\approx1,897.
Então
P(X\ge32)\approx P\bigl(Z\ge\tfrac{31,5-36}{1,897}\bigr) = P(Z\ge -2,372)\approx0,991.

Passo 3

Para a alínea (b), suponha que na amostra observamos X\le29. Sob H_0,
P(X\le29) \approx P\Bigl(Z\le\tfrac{29,5-36}{1,897}\Bigr) = P(Z\le -3,426)\approx0,0003.
Esse valor é muito pequeno, ou seja, seria raríssimo obter menos de 30 sucessos se p=0,9.

Passo 4

Como P(X\le29\mid H_0) é praticamente zero, tal observação constitui forte evidência contra H_0. Logo, com base no resultado X<30, podemos concluir que o treinamento não está atingindo a taxa de sucesso de 90\%, pois esse evento teria probabilidade quase nula sob a hipótese de eficácia.

Passo 5

As principais suposições feitas são:
  1. Cada funcionário é um ensaio de Bernoulli independente com mesma probabilidade p.
  2. A amostra de 40 é representativa e retirada aleatoriamente.
  3. Usa-se a lei binomial (e, para aproximar, a normal) sem considerar correção de população finita.

Resposta

a) P(\text{concluir eficaz}\mid p=0,9)\approx0,991.
b) Sim. Obter menos de 30 sucessos tem probabilidade aproximadamente 0,0003 se p=0,9, o que é tão improvável que rejeitamos a eficácia.
c) Pressupusemos independência dos resultados, probabilidade constante p e validade da distribuição binomial (e de sua aproximação normal).

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