Funcionários de uma empresa foram submetidos a um treinamento. Segundo os patrocinadores, a probabilidade de uma pessoa ter um melhor desempenho após o treinamento é de
. Para avaliar se o treinamento atingiu seus objetivos, você resolve extrair uma amostra de 40 funcionários. Se pelo menos 32 deles apresentarem um bom desempenho, você concluirá que o treinamento foi eficaz.
a) Se os patrocinadores estiverem corretos, qual é a probabilidade de você considerar o treinamento eficaz baseado na amostra?
b) Admita que você avaliou 40 funcionários e concluiu que menos de 30 apresentaram um bom desempenho. Baseado neste resultado é possível afirmar que o treinamento não foi eficaz? Justifique com argumentos probabilísticos. Não será aceita a argumentação de que você esperava que
dos 40 funcionários apresentassem o bom desempenho.
c) Que suposições você fez para resolver a questão?
a) Se os patrocinadores estiverem corretos, qual é a probabilidade de você considerar o treinamento eficaz baseado na amostra?
b) Admita que você avaliou 40 funcionários e concluiu que menos de 30 apresentaram um bom desempenho. Baseado neste resultado é possível afirmar que o treinamento não foi eficaz? Justifique com argumentos probabilísticos. Não será aceita a argumentação de que você esperava que
c) Que suposições você fez para resolver a questão?
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos testar se a probabilidade de sucesso após o treinamento é
. Coletamos uma amostra de
funcionários e usamos como critério “treinamento eficaz” o evento
, onde
é o número de funcionários com bom desempenho. Sob a hipótese dos patrocinadores
, temos
.
Passo 2
Para a alínea (a), calculamos
Como esse somatório direto é trabalhoso, usamos a aproximação normal com correção de continuidade:
a média é
a média é
o desvio-padrão é
Então
Passo 3
Para a alínea (b), suponha que na amostra observamos
. Sob
,
Esse valor é muito pequeno, ou seja, seria raríssimo obter menos de 30 sucessos se
.
Passo 4
Como
é praticamente zero, tal observação constitui forte evidência contra
. Logo, com base no resultado
, podemos concluir que o treinamento não está atingindo a taxa de sucesso de
, pois esse evento teria probabilidade quase nula sob a hipótese de eficácia.
Passo 5
As principais suposições feitas são:
- Cada funcionário é um ensaio de Bernoulli independente com mesma probabilidade
. - A amostra de 40 é representativa e retirada aleatoriamente.
- Usa-se a lei binomial (e, para aproximar, a normal) sem considerar correção de população finita.
Resposta
a)
.
b) Sim. Obter menos de 30 sucessos tem probabilidade aproximadamente se
, o que é tão improvável que rejeitamos a eficácia.
c) Pressupusemos independência dos resultados, probabilidade constante e validade da distribuição binomial (e de sua aproximação normal).
b) Sim. Obter menos de 30 sucessos tem probabilidade aproximadamente
c) Pressupusemos independência dos resultados, probabilidade constante