Uma pesquisa interna realizada por uma empresa buscou identificar a proporção de colaboradores que utilizam planilhas eletrônicas (Excel ou similares) como principal ferramenta de apoio às atividades contábeis. Em uma amostra de 180 colaboradores, constatou-se que 117 utilizam planilhas regularmente. Construa um intervalo de confiança de 99 \% para a proporção populacional de colaboradores que utilizam planilhas eletrônicas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Tamanho da amostra: n=180.
  • Número de colaboradores que usam planilhas: x=117.
  • Pede: construir um intervalo de confiança de 99\% para a proporção populacional p de colaboradores que utilizam planilhas eletrônicas como principal ferramenta de apoio às atividades contábeis.

Passo 2

Calcular a proporção amostral (estimador pontual):
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{117}{180}=0,65.
Explicação: \hat{p} é a fração da amostra que tem a característica de interesse; é o melhor chute inicial para a proporção da população.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal (condições):
  • Calcular n\hat{p}=180\cdot0,65=117.
  • Calcular n(1-\hat{p})=180\cdot0,35=63.
    Como 117 e 63 são ambos maiores que 5 (e até maiores que 10), a aproximação normal (intervalo baseado na distribuição normal) é apropriada.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \hat{p} é a proporção amostral (já calculada).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 à direita; para nível de confiança 100(1-\alpha)\%.
  • n é o tamanho da amostra.
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção, que mede a variabilidade esperada de \hat{p}.

Passo 5

Determinar z_{\alpha/2} para 99\% de confiança:
  • Aqui \alpha=0,01, então \alpha/2=0,005.
  • O quantil z_{0,005} da normal padrão é aproximadamente 2,5758. (Tabela da normal padrão ou calculadora dão z_{0,005}\approx2,576.)

Passo 6

Calcular o erro padrão passo a passo:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,65\cdot0,35=0,2275.
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0,2275}{180}\approx0,0012639.
\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\approx\sqrt{0,0012639}\approx0,03555.
Explicação: primeiro multiplicou-se a probabilidade de sucesso pela de fracasso, depois dividiu-se pelo tamanho da amostra e tirou-se a raiz quadrada para obter o desvio padrão da média amostral da proporção.

Passo 7

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=z_{\alpha/2}\times\text{erro padrão}\approx2,5758\cdot0,03555\approx0,09157.ã

Passo 8

Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{margem}=0,65-0,09157\approx0,55843.
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{margem}=0,65+0,09157\approx0,74157.
Arredondando de forma prática para três casas decimais (útil na prova):
(0,558,\;0,742).

Passo 9

Interpretação didática curta: com intervalo de confiança de 99\% concluímos que, com alto grau de confiança, a verdadeira proporção de todos os colaboradores que usam planilhas como principal ferramenta está entre aproximadamente 0,558 e 0,742. Isso significa que, se repetíssemos amostragens desse tipo muitas vezes e construíssemos intervalos da mesma forma, cerca de 99\% desses intervalos conteriam o verdadeiro p.

Resposta

(0,558,\;0,742)

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