A coordenação de enfermagem de um hospital deseja estimar a proporção de profissionais de enfermagem que já participaram de treinamentos sobre segurança do paciente no último ano. Em uma pesquisa realizada com 200 profissionais, verificou-se que 138 relataram ter participado de pelo menos um treinamento. Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a proporção populacional de profissionais de enfermagem que participaram de treinamentos sobre segurança do paciente.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=200 profissionais de enfermagem e informa que 138 deles relataram ter participado de pelo menos um treinamento. A pergunta é: construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção populacional p de profissionais que participaram de treinamentos sobre segurança do paciente.
Informações relevantes dadas:
  • Tamanho da amostra: n=200.
  • Número de sucessos (participaram de treinamento): x=138.
  • Nível de confiança desejado: 90\%.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p}. A proporção amostral é a estimativa pontual de p e é dada por
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Substituindo os valores fornecidos:
\hat{p}=\frac{138}{200}=0,69.
Explicando: \hat{p} é apenas a fração da amostra que teve o evento de interesse (aqui, participou de treinamento).

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal (intervalo baseado na normal). Uma condição prática é que n\hat{p} e n(1-\hat{p}) sejam ambos maiores que 5:
n\hat{p}=200\cdot0,69=138\quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=200\cdot0,31=62.
Como 138\ge5 e 62\ge5, a aproximação pelo método normal (intervalo usando erro padrão da proporção) é adequada.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção e explicar as variáveis. O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para p é
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (estimador pontual);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda (por exemplo, para 90\% de confiança, \alpha=0,10 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,95});
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão do estimador \hat{p}).
Para 90\% de confiança temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O quantil correspondente é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,95}\approx1,645.
Explicando: z_{0,95} é o valor tal que 95\% da massa da normal padrão está à esquerda dele.

Passo 5

Calcular o erro padrão da proporção. A fórmula do erro padrão é
\text{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Substituindo \hat{p}=0,69 e n=200:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,69\cdot0,31=0,2139,
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0,2139}{200}=0,0010695,
\text{SE}=\sqrt{0,0010695}\approx0,03271.
Explanação: o erro padrão mede a variabilidade esperada de \hat{p} entre amostras de mesmo tamanho.

Passo 6

Calcular a margem de erro E:
E=z_{1-\alpha/2}\cdot\text{SE}=1,645\cdot0,03271\approx0,05380.
Isto significa que o intervalo de confiança será \hat{p}\pm0,05380.

Passo 7

Construir o intervalo numérico:
\text{limite inferior}=\hat{p}-E=0,69-0,05380\approx0,63620,
\text{limite superior}=\hat{p}+E=0,69+0,05380\approx0,74380.
Arredondando a três casas decimais (forma prática em provas e relatórios):
\text{IC de }90\%:\\ [0,636;\\\ 0,744].
Interpretação (rápida e útil para a prova): com 90\% de confiança, a proporção verdadeira de profissionais de enfermagem que participaram de pelo menos um treinamento no último ano está entre 0,636 e 0,744. Em porcentagem: entre 63,6\% e 74,4\%.

Resposta

\displaystyle [0,636;\\\ 0,744]

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