Uma empresa do setor varejista está analisando o valor médio das despesas mensais com energia elétrica de suas filiais para fins de controle de custos operacionais. Foi selecionada uma amostra aleatória de 25 filiais, obtendo-se uma despesa média mensal de \mathrm{R} \ 4.800,00 , com desvio padrão deã\mathrm{R} $900,00$. Considerando um nível de confiança de 98%, construa um intervalo de confiança para a despesa média populacional com energia elétrica.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações fornecidas:
  • Pede: construir um intervalo de confiança de 98\% para a despesa média populacional com energia elétrica.
  • Informações da amostra:
    • tamanho da amostra: n=25,
    • média amostral: \bar{x}= \mathrm{R}\$\,4.800,00,
    • desvio padrão amostral: s= \mathrm{R}\$\,900,00.
  • Nível de confiança: 98\%.

Passo 2

Escolha do método (motivo passo a passo):
  • Quando a variância populacional é desconhecida (não foi dada) e a amostra é pequena ( n<30), devemos usar a distribuição t de Student em vez da distribuição normal z.
  • A distribuição t leva em conta a incerteza adicional por usarmos s no lugar do desvio padrão populacional \sigma. O fator de corte que usamos é t_{\alpha/2,\;n-1}, onde \alpha é o nível de significância ( \alpha=1- nível de confiança) e n-1 são os graus de liberdade.
  • Aqui: nível de confiança 98\%\Rightarrow \alpha=0,02\Rightarrow \alpha/2=0,01. Graus de liberdade: n-1=24.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança e explicação das variáveis:
  • A fórmula do intervalo de confiança para a média (quando \sigma desconhecido) é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=\mathrm{R}\$\,4.800,00).
    • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com probabilidade acumulada 1-\alpha/2 e n-1 graus de liberdade (valor crítico).
    • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=\mathrm{R}\$\,900,00).
    • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui \sqrt{25}=5).
    • O termo \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra).

Passo 4

Obter o valor crítico t_{\alpha/2,\,n-1}:
  • Temos \alpha/2=0,01 e n-1=24. Consultando uma tabela t ou uma calculadora estatística, o valor crítico é
t_{0,01,\,24}\approx 2,492.
(Este é o número que corresponde à cauda de 1\% à direita na t com 24 graus de liberdade.)

Passo 5

Calcular o erro padrão e a margem de erro:
  • Erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{900}{\sqrt{25}}=\frac{900}{5}=180\quad(\mathrm{R}\$).
  • Margem de erro (multiplicando pelo t crítico):
\text{margem}=t_{0,01,24}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2,492\cdot180=448,56\quad(\mathrm{R}\$).
(Detalhe do cálculo: 2,492\times180=(2,5-0,008)\times180=450-1,44=448,56.)

Passo 6

Calcular os limites do intervalo:
  • Limite inferior:
\bar{x}-\text{margem}=4.800,00-448,56=4.351,44\quad(\mathrm{R}\$).
  • Limite superior:
\bar{x}+\text{margem}=4.800,00+448,56=5.248,56\quad(\mathrm{R}\$).
  • Interpretação curta (para fixar a ideia): com 98\% de confiança, o verdadeiro valor médio populacional da despesa com energia está entre \mathrm{R}\$\,4.351,44 e \mathrm{R}\$\,5.248,56.

Resposta

\left[\,\mathrm{R}\$\,4.351,44,\\ \mathrm{R}\$\,5.248,56\,\right]

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