Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação ao consumo de um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 consumidores da cidade e observou-se que 180 consumiam o produto. Determinar um NC de 99% para a proporção populacional de consumidores do produto.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados:
- Tamanho da amostra:
. - Número de consumidores na amostra:
. - Pede-se: determinar um intervalo de confiança de
para a proporção populacional (a proporção de consumidores do produto na cidade).
Passo 2
O que é um intervalo de confiança para proporção e quando podemos usar a fórmula normal?
- Um intervalo de confiança para a proporção populacional
é um intervalo construído a partir da amostra que, com certa confiança (aqui ), contém o verdadeiro valor de . - Para amostras grandes, usamos a aproximação normal à distribuição da proporção amostral
. A condição prática para essa aproximação é que e sejam pelo menos cerca de 5 (ou melhor, maiores), o que garante que a distribuição de seja aproximadamente normal. - A fórmula usual do intervalo de confiança (por normal) é:
onde:
-
é a proporção amostral, -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a na cauda (para confiança ), -
é o tamanho da amostra, - a raiz quadrada é o erro padrão de
.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
.
Verificação das condições para usar a aproximação normal:
ambos muito maiores que
. Portanto a aproximação normal é adequada.
Passo 4
Determinar o valor crítico
para
de confiança.
- O nível de confiança é
, então e . - O valor
é tal que para . - A partir da tabela da normal padrão (ou da função inversa), obtém-se aproximadamente
Passo 5
Calcular o erro padrão e a margem de erro.
- Primeiro o erro padrão (desvio padrão de
):
- Calcular
:
- Margem de erro
:
Passo 6
Construir o intervalo de confiança e interpretar.
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Interpretação: com
de confiança, a proporção populacional está entre aproximadamente e . Em termos percentuais, isso corresponde a a .