Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação ao consumo de um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 consumidores da cidade e observou-se que 180 consumiam o produto. Determinar um NC de 99% para a proporção populacional de consumidores do produto.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Tamanho da amostra: n=300.
  • Número de consumidores na amostra: x=180.
  • Pede-se: determinar um intervalo de confiança de 99\% para a proporção populacional p (a proporção de consumidores do produto na cidade).

Passo 2

O que é um intervalo de confiança para proporção e quando podemos usar a fórmula normal?
  • Um intervalo de confiança para a proporção populacional p é um intervalo construído a partir da amostra que, com certa confiança (aqui 99\%), contém o verdadeiro valor de p.
  • Para amostras grandes, usamos a aproximação normal à distribuição da proporção amostral \hat p. A condição prática para essa aproximação é que n\hat p e n(1-\hat p) sejam pelo menos cerca de 5 (ou melhor, maiores), o que garante que a distribuição de \hat p seja aproximadamente normal.
  • A fórmula usual do intervalo de confiança (por normal) é:
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde:
  • \hat p é a proporção amostral,
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2 na cauda (para confiança 1-\alpha),
  • n é o tamanho da amostra,
  • a raiz quadrada é o erro padrão de \hat p.
    Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat p.
\hat p=\dfrac{x}{n}=\dfrac{180}{300}=\;0,6.
Verificação das condições para usar a aproximação normal:
n\hat p = 300\cdot 0,6 = 180 \quad\text{e}\quad n(1-\hat p)=300\cdot 0,4=120,
ambos muito maiores que 5. Portanto a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 99\% de confiança.
  • O nível de confiança é 1-\alpha = 0,99, então \alpha = 0,01 e \alpha/2 = 0,005.
  • O valor z_{\alpha/2} é tal que P(Z>z_{\alpha/2})=0,005 para Z\sim N(0,1).
  • A partir da tabela da normal padrão (ou da função inversa), obtém-se aproximadamente
z_{\alpha/2}=z_{0,005}\approx 2,5758.

Passo 5

Calcular o erro padrão e a margem de erro.
  • Primeiro o erro padrão (desvio padrão de \hat p):
\text{EP}=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,6\cdot 0,4}{300}}=\sqrt{\dfrac{0,24}{300}}=\sqrt{0,0008}.
  • Calcular \sqrt{0,0008}:
\sqrt{0,0008}\approx 0,028284271.
  • Margem de erro E:
E = z_{\alpha/2}\cdot \text{EP}\approx 2,5758\cdot 0,028284271\approx 0,07285.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança e interpretar.
  • Limite inferior:
\hat p - E = 0,6 - 0,07285 = 0,52715\approx 0,527.
  • Limite superior:
\hat p + E = 0,6 + 0,07285 = 0,67285\approx 0,673.
  • Interpretação: com 99\% de confiança, a proporção populacional p está entre aproximadamente 0,527 e 0,673. Em termos percentuais, isso corresponde a 52{,}7\% a 67{,}3\%.

Resposta

\displaystyle (0,527;\\\ 0,673)

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