Um cliente determina que deseja uma amostra de 100 pessoas para uma pesquisa de mercado. A população de interesse é de 5000 indivíduos. O objetivo da pesquisa é levantar o perfil dos estudantes de nível superior residentes na cidade. Considerando que a proporção populacional é desconhecida (
) e adotando um nível de confiança de
, estime a margem de erro da pesquisa:
Passo 1
O enunciado pede para estimar a margem de erro de uma pesquisa de proporções com os seguintes dados fornecidos:
- Tamanho da amostra:
. - Tamanho da população:
. - Proporção populacional desconhecida, adotada como
. - Nível de confiança:
.
O que devemos calcular: a margem de erro (erro máximo de estimativa) para a proporção com esses parâmetros.
Passo 2
Conceito e fórmula básica (sem correção por população finita).
- Para estimar a proporção, o erro padrão da proporção amostral (quando a população é grande ou considera-se amostragem com reposição) é dado por
onde:
-
é a proporção populacional (ou a estimativa suposta); -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão assumindo população efetivamente infinita. - A margem de erro para um nível de confiança com distribuição normal é
onde
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para
de confiança,
.
Observação sobre
: quando a proporção verdadeira é desconhecida, usar
é conservador porque maximiza
(o produto
tem máximo igual a
em
), então dá a maior margem de erro possível para aquela
.
Passo 3
Correção para população finita (FPC).
- Como a população é finita e
não é desprezível relativamente a , aplica-se o fator de correção:
- O erro padrão com correção fica
- A margem de erro final será então
(Observação prática: muitas vezes usa-se a FPC apenas se
for maior que cerca de
. Aqui
— isto é
— então a FPC terá efeito pequeno, mas como
foi dado, vamos aplicá-la.)
Passo 4
Substituir os números e calcular passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Divida por
:
- Raiz quadrada (erro padrão sem FPC):
- Calcular a FPC:
- Multiplicar a raiz anterior pelo FPC para obter o erro padrão com correção:
- Multiplicar pelo
de (que é ):
Passo 5
Interpretação e comparação rápida.
- Em termos percentuais, a margem de erro é aproximadamente
, ou arredondando com uma casa decimal, . - Sem aplicar a FPC teríamos
. Portanto a FPC reduziu muito pouco o valor (de para ), como era de esperar pelo pequeno .