Um cliente determina que deseja uma amostra de 100 pessoas para uma pesquisa de mercado. A população de interesse é de 5000 indivíduos. O objetivo da pesquisa é levantar o perfil dos estudantes de nível superior residentes na cidade. Considerando que a proporção populacional é desconhecida ( p=0,5 ) e adotando um nível de confiança de 95 \%, estime a margem de erro da pesquisa:

Passo 1

O enunciado pede para estimar a margem de erro de uma pesquisa de proporções com os seguintes dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Tamanho da população: N=5000.
  • Proporção populacional desconhecida, adotada como p=0,5.
  • Nível de confiança: 95\%.
O que devemos calcular: a margem de erro (erro máximo de estimativa) para a proporção com esses parâmetros.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (sem correção por população finita).
  • Para estimar a proporção, o erro padrão da proporção amostral (quando a população é grande ou considera-se amostragem com reposição) é dado por
\text{SE}_{\infty}=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • p é a proporção populacional (ou a estimativa suposta);
  • n é o tamanho da amostra;
  • \text{SE}_{\infty} é o erro padrão assumindo população efetivamente infinita.
  • A margem de erro para um nível de confiança com distribuição normal é
E = z_{\alpha/2}\cdot \text{SE},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para 95\% de confiança, z_{0{,}975}=1{,}96.
Observação sobre p=0{,}5: quando a proporção verdadeira é desconhecida, usar p=0{,}5 é conservador porque maximiza p(1-p) (o produto p(1-p) tem máximo igual a 0{,}25 em p=0{,}5), então dá a maior margem de erro possível para aquela n.

Passo 3

Correção para população finita (FPC).
  • Como a população é finita e n não é desprezível relativamente a N, aplica-se o fator de correção:
\text{FPC}=\sqrt{\dfrac{N-n}{\,N-1\,}}.
  • O erro padrão com correção fica
\text{SE}=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\cdot\sqrt{\dfrac{N-n}{\,N-1\,}}.
  • A margem de erro final será então
E=z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\cdot\sqrt{\dfrac{N-n}{\,N-1\,}}.
(Observação prática: muitas vezes usa-se a FPC apenas se n/N for maior que cerca de 5\%. Aqui n/N=100/5000=0{,}02 — isto é 2\% — então a FPC terá efeito pequeno, mas como N foi dado, vamos aplicá-la.)

Passo 4

Substituir os números e calcular passo a passo.
  • Primeiro calcule p(1-p):
p(1-p)=0{,}5\cdot(1-0{,}5)=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25.
  • Divida por n:
\dfrac{p(1-p)}{n}=\dfrac{0{,}25}{100}=0{,}0025.
  • Raiz quadrada (erro padrão sem FPC):
\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{0{,}0025}=0{,}05.
  • Calcular a FPC:
\dfrac{N-n}{N-1}=\dfrac{5000-100}{5000-1}=\dfrac{4900}{4999}\approx0{,}980196.
\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}=\sqrt{0{,}980196}\approx0{,}99007.
  • Multiplicar a raiz anterior pelo FPC para obter o erro padrão com correção:
\text{SE}=0{,}05\times0{,}99007\approx0{,}0495035.
  • Multiplicar pelo z de 95\% (que é 1{,}96):
E=1{,}96\times0{,}0495035\approx0{,}09702696\approx0{,}09703.

Passo 5

Interpretação e comparação rápida.
  • Em termos percentuais, a margem de erro é aproximadamente 9{,}703\%, ou arredondando com uma casa decimal, 9{,}7\%.
  • Sem aplicar a FPC teríamos E_{\text{sem FPC}}=1{,}96\times0{,}05=0{,}098=9{,}8\%. Portanto a FPC reduziu muito pouco o valor (de 9{,}8\% para 9{,}7\%), como era de esperar pelo pequeno n/N.

Resposta

\text{Margem de erro} \approx 0{,}09703 \; (9{,}703\%\\ \approx 9{,}7\%)

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