O objetivo da pesquisa é levantar o perfil de empregados sindicalizados na empresa X. A empresa possui 10 mil empregados, onde 30 \% são sindicalizados. Determinar a amostra para um NC maior que 95% e um erro de 3%

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos esses números do enunciado):
  • População total: N=10000.
  • Proporção conhecida de sindicalizados: 30\%, ou seja p=0,3.
  • Nível de confiança desejado: "NC maior que 95\%". Vou interpretar isso como usar o nível de confiança de 95\% (valor padrão em pesquisas), que corresponde a um quantil da normal padrão.
  • Erro amostral tolerável (margem de erro): E=3\%, ou seja E=0,03.
O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra n que garante a margem de erro E=0,03 para uma estimativa de proporção com nível de confiança (aproximadamente) 95\%, levando em conta que a população é finita ( N=10000).

Passo 2

Conceito e fórmula para início: quando se estima uma proporção em uma população grande, a fórmula inicial (sem considerar correção por população finita) para o tamanho amostral é
n_0=\frac{z^{2}\,p(1-p)}{E^{2}},
onde:
  • n_0 é o tamanho amostral “não corrigido” (assume população infinita);
  • z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado (por exemplo, z=1,96 para 95\%);
  • p é a proporção esperada (aqui p=0,3);
  • E é a margem de erro expressa na mesma escala (aqui E=0,03).
Explicando cada parte intuitivamente:
  • z controla quão “largo” é o intervalo de confiança (maior z = mais confiança = intervalo maior).
  • p(1-p) é a variabilidade máxima da proporção; quanto mais perto de 0{,}5 estiver p, maior a variabilidade.
  • Dividimos por E^{2} porque, para reduzir o erro pela metade, precisamos quadruplicar a amostra (relação quadrática).

Passo 3

Escolha do z: para nível de confiança de 95\% usamos
z=1,96.
(Esse valor vem da tabela da normal padrão: a probabilidade central de 95\% fica entre -1{,}96 e +1{,}96.)
Agora vamos aplicar a fórmula com os valores dados.

Passo 4

Cálculo de n_0 passo a passo:
  • Primeiro calcule z^{2}:
z^{2}=1{,}96^{2}=3{,}8416.
  • Calcule p(1-p):
p(1-p)=0{,}3\cdot(1-0{,}3)=0{,}3\cdot0{,}7=0{,}21.
  • Produto no numerador:
z^{2}p(1-p)=3{,}8416\cdot0{,}21=0{,}806736.
  • Denominador E^{2}:
E^{2}=0{,}03^{2}=0{,}0009.
  • Portanto
n_0=\frac{0{,}806736}{0{,}0009}=896{,}373\ldots
Então, sem considerar a finitude da população, precisaríamos de cerca de n_0\approx896{,}37 observações.

Passo 5

Correção para população finita: como N=10000 não é infinita, usa-se a correção de população finita (CPF). A fórmula corrigida é
n=\frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1}.
Aqui:
  • n é o tamanho amostral ajustado para N finito;
  • N é o tamanho da população ( 10000);
  • n_0 é o valor calculado no passo anterior.
A razão de usar essa correção: quando a população é relativamente pequena em relação à amostra, cada unidade adicional amostrada reduz mais a incerteza, logo é preciso menos do que o n_0 calculado como se a população fosse infinita.

Passo 6

Cálculo numérico da correção:
  • Substituindo N=10000 e n_0=896{,}373\ldots,
n=\frac{10000\cdot896{,}373\ldots}{10000+896{,}373\ldots-1}.
  • Calculando numerador e denominador:
\text{numerador}=10000\cdot896{,}373\ldots=8\,963\,733{,}33\ldots
\text{denominador}=10000+896{,}373\ldots-1=10\,895{,}373\ldots
  • Dividindo:
n\approx\frac{8\,963\,733{,}33}{10\,895{,}373}\approx822{,}71.
Regra prática: o tamanho de amostra deve ser um número inteiro e, para garantir que a margem de erro não ultrapasse E, arredondamos sempre para cima. Portanto precisamos de
n=823
entrevistas/observações.

Passo 7

Observações finais e alternativa rápida:
  • Usei z=1{,}96 porque interpretei "NC maior que 95\%" como escolher o padrão de 95\%. Se realmente for exigido um NC estritamente maior (por exemplo 99\%), o z aumenta e a amostra também. Por exemplo, para 99\% tem-se z=2{,}576, e repetindo o mesmo procedimento obtém-se n\approx1341 (arredondando para cima).
  • Se a proporção p fosse desconhecida, a prática conservadora é usar p=0{,}5, que maximiza p(1-p) e dá a maior amostra necessária.

Resposta

823

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