Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B , sendo que algumas delas utilizam A e B . O produto A é usado por 12 dessas pessoas e o produto B , por 10 delas. O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é:

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (escrevo exatamente os números que o problema deu):
  • O total de pessoas que utilizam o produto A ou o produto B (ou ambos) é \#(A\cup B)=15.
  • O número de pessoas que utilizam o produto A é \#A=12.
  • O número de pessoas que utilizam o produto B é \#B=10.
O que o problema pede:
  • Determinar o número de pessoas que utilizam ambos os produtos, ou seja, encontrar \#(A\cap B).

Passo 2

Vamos usar uma relação básica entre esses números. Primeiro eu explico a ideia por trás dela de forma bem simples e visual (tipo Venn, mas sem desenhar): se eu somar \#A com \#B estou contando as pessoas que usam A e as que usam B. Quem usa os dois foi contado duas vezes nessa soma. Para corrigir isso, preciso subtrair uma vez o número de quem usa ambos.
Essa ideia vira a fórmula
\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B).
Aqui:
  • \#(A\cup B) é o número de pessoas que usam pelo menos um dos produtos (A ou B).
  • \#A é o número que usa A (inclui também os que usam A e B).
  • \#B é o número que usa B (inclui também os que usam A e B).
  • \#(A\cap B) é o número que usa os dois produtos (está sendo subtraído porque foi contado duas vezes em \#A+\#B).

Passo 3

Isolando \#(A\cap B) na fórmula, obtemos
\#(A\cap B)=\#A+\#B-\#(A\cup B).
Agora substituímos os valores dados:
\#(A\cap B)=12+10-15.
Faço as contas passo a passo:
12+10=22,
22-15=7.
Logo \#(A\cap B)=7.

Passo 4

Verificação rápida e interpretação (útil na prova para checar erros): as pessoas que usam somente A são \#A-\#(A\cap B)=12-7=5. As que usam somente B são \#B-\#(A\cap B)=10-7=3. Somando somente-A + somente-B + ambos dá 5+3+7=15, que confere com o total \#(A\cup B). Além disso, o valor \,7\, está entre 0 e \min(12,10)=10, então é plausível.

Resposta

7

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