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Considere um conjunto A com
subconjuntos. Acrescentamos a este conjunto quatro elementos distintos entre si e aos já existentes. O número de elementos que passará a ter o novo conjunto de partes do conjunto A será:
a)
b)
c)
d)
e)
Considere um conjunto A com
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Foi considerado um conjunto
que possui subconjuntos. - Acrescentam-se a
quatro elementos novos, todos distintos entre si e distintos dos elementos já existentes em . - Pergunta-se: qual será o número de elementos do conjunto das partes (power set) do novo conjunto obtido?
Resumo dos dados relevantes:
- Número atual de subconjuntos de
é . - Foram adicionados exatamente
elementos novos a .
Passo 2
Entender o fato fundamental sobre conjunto das partes (power set):
Se um conjunto tem elementos, então o número de subconjuntos desse conjunto é
Se um conjunto tem
Explicação didática: para cada um dos
elementos há duas opções ao formar um subconjunto — incluir esse elemento ou não. Como as escolhas para elementos diferentes são independentes, pelo princípio multiplicativo o total de subconjuntos é
(produto com
fatores), isto é
.
Exemplos simples para fixar a ideia:
- Se um conjunto tem
elemento, tem subconjuntos (vazio e o próprio elemento). - Se tem
elementos, tem subconjuntos. - Se tem
elementos, tem subconjuntos.
Esses exemplos mostram a regra em ação.
Passo 3
Relacionar a informação do enunciado com a fórmula:
Seja o número de elementos de
antes de acrescentar os quatro novos elementos. Pelo item anterior, o número de subconjuntos de
é
Seja
O enunciado afirma que esse número é
. Logo podemos escrever
Isto identifica implicitamente
(poder-se-ia escrever
, mas não é necessário calcular
explicitamente).
Passo 4
Contar os subconjuntos do novo conjunto depois de adicionar os 4 elementos:
O novo conjunto terá elementos. Pelo mesmo princípio, o número de subconjuntos do novo conjunto é
O novo conjunto terá
Usando propriedades de potências (regra
), obtemos
Como
e
(da relação anterior), substituindo temos
Passo 5
Interpretação combinatória alternativa (mesma conclusão, visão prática):
Para construir um subconjunto do novo conjunto, primeiro escolhe-se um subconjunto qualquer dos elementos originais (existem
opções), e depois para cada um dos
novos elementos decide-se incluí-lo ou não — são
combinações dessas decisões. Pelo princípio multiplicativo, o total é
vezes
, ou seja
. Essa visão ajuda a entender por que o fator
aparece (cada subconjunto antigo gera
subconjuntos novos ao combinar com as escolhas sobre os quatro elementos novos).
Para construir um subconjunto do novo conjunto, primeiro escolhe-se um subconjunto qualquer dos
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo para ficar tranquilo:
Suponha que tivesse
elementos. Então
. Ao acrescentar 4 elementos, o novo conjunto tem
elementos e seu conjunto das partes tem
subconjuntos. Isso é igual a
, confirmando a fórmula
.
Suponha que
Resposta
e)