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Considere um conjunto A com n subconjuntos. Acrescentamos a este conjunto quatro elementos distintos entre si e aos já existentes. O número de elementos que passará a ter o novo conjunto de partes do conjunto A será:
a) n+4
b) n+16
c) n^{4}
d) 4 n
e) 16 n

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Foi considerado um conjunto A que possui n subconjuntos.
  • Acrescentam-se a A quatro elementos novos, todos distintos entre si e distintos dos elementos já existentes em A.
  • Pergunta-se: qual será o número de elementos do conjunto das partes (power set) do novo conjunto obtido?
Resumo dos dados relevantes:
  • Número atual de subconjuntos de A é n.
  • Foram adicionados exatamente 4 elementos novos a A.

Passo 2

Entender o fato fundamental sobre conjunto das partes (power set):
Se um conjunto tem k elementos, então o número de subconjuntos desse conjunto é
2^{k}.
Explicação didática: para cada um dos k elementos há duas opções ao formar um subconjunto — incluir esse elemento ou não. Como as escolhas para elementos diferentes são independentes, pelo princípio multiplicativo o total de subconjuntos é 2\cdot2\cdot\cdots\cdot2 (produto com k fatores), isto é 2^{k}.
Exemplos simples para fixar a ideia:
  • Se um conjunto tem 1 elemento, tem 2^{1}=2 subconjuntos (vazio e o próprio elemento).
  • Se tem 2 elementos, tem 2^{2}=4 subconjuntos.
  • Se tem 3 elementos, tem 2^{3}=8 subconjuntos.
    Esses exemplos mostram a regra em ação.

Passo 3

Relacionar a informação do enunciado com a fórmula:
Seja m o número de elementos de A antes de acrescentar os quatro novos elementos. Pelo item anterior, o número de subconjuntos de A é
2^{m}.
O enunciado afirma que esse número é n. Logo podemos escrever
2^{m}=n.
Isto identifica implicitamente m (poder-se-ia escrever m=\log_{2}n, mas não é necessário calcular m explicitamente).

Passo 4

Contar os subconjuntos do novo conjunto depois de adicionar os 4 elementos:
O novo conjunto terá m+4 elementos. Pelo mesmo princípio, o número de subconjuntos do novo conjunto é
2^{\,m+4}.
Usando propriedades de potências (regra 2^{m+4}=2^{4}\cdot2^{m}), obtemos
2^{\,m+4}=2^{4}\cdot 2^{m}.
Como 2^{4}=16 e 2^{m}=n (da relação anterior), substituindo temos
2^{\,m+4}=16\cdot n.

Passo 5

Interpretação combinatória alternativa (mesma conclusão, visão prática):
Para construir um subconjunto do novo conjunto, primeiro escolhe-se um subconjunto qualquer dos m elementos originais (existem n opções), e depois para cada um dos 4 novos elementos decide-se incluí-lo ou não — são 2^{4}=16 combinações dessas decisões. Pelo princípio multiplicativo, o total é 16 vezes n, ou seja 16n. Essa visão ajuda a entender por que o fator 16 aparece (cada subconjunto antigo gera 16 subconjuntos novos ao combinar com as escolhas sobre os quatro elementos novos).

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo para ficar tranquilo:
Suponha que A tivesse m=2 elementos. Então n=2^{2}=4. Ao acrescentar 4 elementos, o novo conjunto tem 6 elementos e seu conjunto das partes tem 2^{6}=64 subconjuntos. Isso é igual a 16\cdot 4=64, confirmando a fórmula 16n.

Resposta

e) 16n

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