Após o lançamento de produtos derivados do açaí, um instituto de beleza promoveu entre suas clientes uma pesquisa e constatou que: 48 clientes usaram shampoo à base de açaí; 35 usaram o condicionador; 15 usaram os dois produtos e apenas 12 dessas clientes entrevistadas não utilizaram nenhum desses dois produtos. Pede-se:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
clientes usaram shampoo (chamaremos esse conjunto de ). -
clientes usaram condicionador (chamaremos esse conjunto de ). -
clientes usaram ambos os produtos (ou seja, ). -
clientes não utilizaram nenhum dos dois produtos.
O que vamos responder (questões comuns e úteis para prova):
- Quantas clientes usaram somente shampoo?
- Quantas clientes usaram somente condicionador?
- Quantas usaram pelo menos um dos dois produtos (ou seja, shampoo ou condicionador)?
- Quantas clientes foram entrevistadas ao todo?
Passo 2
Vamos definir a notação e a regra que usamos aqui (explicação passo a passo, sem pular etapas).
-
Notação:
-
é o número de clientes que usaram shampoo. -
é o número de clientes que usaram condicionador. -
é o número que usou ambos. -
é o número que usou somente shampoo (ou seja, em mas não em ). -
é o número que usou somente condicionador.
-
-
Ideia chave (evitar contagem dupla): se eu somo
estou contando duas vezes as pessoas que estão em . Para corrigir isso usamos a fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
Isso dá o número que usou pelo menos um dos produtos.
- Para obter só os que usaram apenas um produto:
Essas fórmulas são diretas porque das pessoas que estiveram em
devemos retirar as que também estão em
.
Passo 3
Calcular quantas usaram somente shampoo:
Interpretação: das
que usaram shampoo,
também usaram condicionador, logo
usaram só shampoo.
Passo 4
Calcular quantas usaram somente condicionador:
Interpretação: das
que usaram condicionador,
também usaram shampoo, logo
usaram só condicionador.
Passo 5
Calcular quantas usaram pelo menos um dos dois produtos (união):
Explicação curta: somou-se os dois totais e subtraiu-se a interseção para não contar duplamente as que usaram os dois.
Passo 6
Calcular o total de clientes entrevistadas: somando as que usaram pelo menos um (
) com as que não usaram nenhum (
):
Verificação por categorias:
(só shampoo)
(só condicionador)
(ambos)
(nenhum)
. Fecha certinho — ótimo sinal.
Passo 7
Dica rápida para a prova (modo prático e sem pânico):
- Desenhe dois círculos que se cruzam (diagrama de Venn). Coloque primeiro o número da interseção; depois complete cada círculo com o “só” usando
e . Soma das três regiões internas dá . Por fim some os “nenhum” se pedido o total. - Memorize as fórmulas básicas:
e . Isso resolve 95% dos problemas com dois conjuntos.
Resposta
Somente shampoo:
Somente condicionador:
Usaram ambos:
Não usaram nenhum:
Total entrevistadas:
Somente condicionador:
Usaram ambos:
Não usaram nenhum:
Total entrevistadas: