Após o lançamento de produtos derivados do açaí, um instituto de beleza promoveu entre suas clientes uma pesquisa e constatou que: 48 clientes usaram shampoo à base de açaí; 35 usaram o condicionador; 15 usaram os dois produtos e apenas 12 dessas clientes entrevistadas não utilizaram nenhum desses dois produtos. Pede-se:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 48 clientes usaram shampoo (chamaremos esse conjunto de S).
  • 35 clientes usaram condicionador (chamaremos esse conjunto de C).
  • 15 clientes usaram ambos os produtos (ou seja, |S\cap C|=15).
  • 12 clientes não utilizaram nenhum dos dois produtos.
O que vamos responder (questões comuns e úteis para prova):
  1. Quantas clientes usaram somente shampoo?
  2. Quantas clientes usaram somente condicionador?
  3. Quantas usaram pelo menos um dos dois produtos (ou seja, shampoo ou condicionador)?
  4. Quantas clientes foram entrevistadas ao todo?

Passo 2

Vamos definir a notação e a regra que usamos aqui (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Notação:
    • |S| é o número de clientes que usaram shampoo.
    • |C| é o número de clientes que usaram condicionador.
    • |S\cap C| é o número que usou ambos.
    • |S\setminus C| é o número que usou somente shampoo (ou seja, em S mas não em C).
    • |C\setminus S| é o número que usou somente condicionador.
  • Ideia chave (evitar contagem dupla): se eu somo |S| + |C| estou contando duas vezes as pessoas que estão em S\cap C. Para corrigir isso usamos a fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
|S\cup C| = |S| + |C| - |S\cap C|.
Isso dá o número que usou pelo menos um dos produtos.
  • Para obter só os que usaram apenas um produto:
|S\setminus C| = |S| - |S\cap C|, \qquad |C\setminus S| = |C| - |S\cap C|.
Essas fórmulas são diretas porque das pessoas que estiveram em S devemos retirar as que também estão em C.

Passo 3

Calcular quantas usaram somente shampoo:
|S\setminus C| = |S| - |S\cap C| = 48 - 15 = 33.
Interpretação: das 48 que usaram shampoo, 15 também usaram condicionador, logo 33 usaram só shampoo.

Passo 4

Calcular quantas usaram somente condicionador:
|C\setminus S| = |C| - |S\cap C| = 35 - 15 = 20.
Interpretação: das 35 que usaram condicionador, 15 também usaram shampoo, logo 20 usaram só condicionador.

Passo 5

Calcular quantas usaram pelo menos um dos dois produtos (união):
|S\cup C| = |S| + |C| - |S\cap C| = 48 + 35 - 15 = 68.
Explicação curta: somou-se os dois totais e subtraiu-se a interseção para não contar duplamente as que usaram os dois.

Passo 6

Calcular o total de clientes entrevistadas: somando as que usaram pelo menos um ( |S\cup C|=68) com as que não usaram nenhum ( 12):
\text{Total} = |S\cup C| + 12 = 68 + 12 = 80.
Verificação por categorias: 33 (só shampoo) + 20 (só condicionador) + 15 (ambos) + 12 (nenhum) =80. Fecha certinho — ótimo sinal.

Passo 7

Dica rápida para a prova (modo prático e sem pânico):
  • Desenhe dois círculos que se cruzam (diagrama de Venn). Coloque primeiro o número da interseção; depois complete cada círculo com o “só” usando |S|-|S\cap C| e |C|-|S\cap C|. Soma das três regiões internas dá |S\cup C|. Por fim some os “nenhum” se pedido o total.
  • Memorize as fórmulas básicas: |S\setminus C| = |S| - |S\cap C| e |S\cup C| = |S| + |C| - |S\cap C|. Isso resolve 95% dos problemas com dois conjuntos.

Resposta

Somente shampoo: 33
Somente condicionador: 20
Usaram ambos: 15
Não usaram nenhum: 12
Total entrevistadas: 80

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