Visando melhor entender o cérebro humano, estudiosos fizeram uma pesquisa de QI em uma universidade brasileira. Com uma confiança de 95 \%, um erro de 2 pontos de QI e um desvio padrão de 15 pontos de QI, quantos universitários teriam que ser selecionados aleatoriamente?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho da amostra necessária para estimar a média de QI de universitários com nível de confiança de 95 %, erro máximo de 2 pontos e desvio padrão populacional conhecido de 15 pontos. O conteúdo é estimação de intervalo de confiança para a média, usando a fórmula de cálculo de tamanho de amostra:
n = \biggl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\biggr)^{2},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal, \sigma é o desvio padrão populacional e E é a margem de erro.

Passo 2

Determinar o valor de z_{\alpha/2} para nível de confiança de 95 %. Nesse caso \alpha = 1 - 0{,}95 = 0{,}05 e \alpha/2 = 0{,}025. O quantil correspondente é
z_{0{,}025} = 1{,}96.

Passo 3

Substituir na fórmula os valores \sigma = 15, E = 2 e z_{0{,}025} = 1{,}96:
n = \biggl(\frac{1{,}96 \times 15}{2}\biggr)^{2}.

Passo 4

Calcular o numerador e elevar ao quadrado:
\frac{1{,}96 \times 15}{2} = \frac{29{,}4}{2} = 14{,}7,
n = (14{,}7)^{2} = 216{,}09.

Passo 5

Como n deve ser inteiro e garantir a margem de erro, arredondamos sempre para cima:
n = 217.

Resposta

Deve-se selecionar 217 universitários.

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