Uma pesquisa realizada em certa localidade fornece dados sobre o numero de jovens adultos, com idade entre 18 e 24 anos, que moram com seus pais. Nos resultados da pesquisa mostrou que a probabilidade de um jovem adulto viver com seus pais é 0,56 ; e que uma mulher jovem adulta viver com seus pais é 0,42 ; Se selecionamos um jovem e uma mulher jovem adulta, a probabilidade de que ambos estejam vivendo na casa de seus pais é 0,24 .
a) Qual é a probabilidade de que pelo menos um dois jovens adultos selecionados estejam vivendo na casa de seus pais?,
b) Qual é a probabilidade de nenhum deles esteja vivendo na casa de seus pais?.
a) Qual é a probabilidade de que pelo menos um dois jovens adultos selecionados estejam vivendo na casa de seus pais?,
b) Qual é a probabilidade de nenhum deles esteja vivendo na casa de seus pais?.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) A probabilidade de que pelo menos um dos dois jovens adultos selecionados esteja vivendo na casa de seus pais.
- (b) A probabilidade de que nenhum dos dois esteja vivendo na casa de seus pais.
Informações fornecidas (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
- A probabilidade de um jovem adulto viver com seus pais é
. - A probabilidade de uma mulher jovem adulta viver com seus pais é
. - Se selecionamos um jovem e uma mulher jovem adulta, a probabilidade de que ambos estejam vivendo na casa de seus pais é
.
Observação: estamos selecionando duas pessoas diferentes (uma do primeiro tipo e outra do segundo), e o enunciado já nos deu a probabilidade conjunta de ambos viverem com os pais (
). Com isso, temos tudo que precisamos para responder (a) e (b).
Passo 2
Definições de eventos e notação (isso ajuda a organizar a cabeça):
- Seja
o evento “o jovem (primeira pessoa) vive com os pais”. - Seja
o evento “a mulher jovem (segunda pessoa) vive com os pais”. - Então temos:
Aqui
significa a probabilidade de que os dois eventos ocorram ao mesmo tempo (ou seja, ambos vivem com os pais).
Passo 3
Como calcular “pelo menos um” em linguagem de probabilidade:
- O evento “pelo menos um vive com os pais” é o evento união
(ou ou ou ambos). - A fórmula básica de probabilidade para a união de dois eventos é (regra da inclusão-exclusão):
Explicação intuitiva: somamos
e
, mas quem pertence a ambos foi contado duas vezes, por isso subtraímos
uma vez para corrigir.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos números do enunciado para achar (a):
- Substituindo:
- Fazendo as contas passo a passo:
Portanto, a probabilidade de que pelo menos um dos dois viva com os pais é
.
Passo 5
Como calcular “nenhum deles” — uso do complemento:
- O evento “nenhum vive com os pais” é o complementar de
, ou seja . - A probabilidade de um complementar é:
- Substituindo o resultado do passo anterior:
Logo, a probabilidade de que nenhum dos dois viva com os pais é
.
Passo 6
Checagem rápida e motivação:
- Soma das duas probabilidades pedidas:
, o que faz sentido (ou acontece “pelo menos um” ou “nenhum”, cobrem todo o espaço amostral). - Bom trabalho por chegar até aqui — essas fórmulas de união e complemento são as ferramentas mais úteis para problemas desse tipo. Na prova, identifique eventos, use inclusão-exclusão para “ou”, e complemento para “nenhum” ou “nenhum/nenhuma”.
Resposta
a)
b)
b)