Uma pesquisa realizada em certa localidade fornece dados sobre o numero de jovens adultos, com idade entre 18 e 24 anos, que moram com seus pais. Nos resultados da pesquisa mostrou que a probabilidade de um jovem adulto viver com seus pais é 0,56 ; e que uma mulher jovem adulta viver com seus pais é 0,42 ; Se selecionamos um jovem e uma mulher jovem adulta, a probabilidade de que ambos estejam vivendo na casa de seus pais é 0,24 .
a) Qual é a probabilidade de que pelo menos um dois jovens adultos selecionados estejam vivendo na casa de seus pais?,
b) Qual é a probabilidade de nenhum deles esteja vivendo na casa de seus pais?.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) A probabilidade de que pelo menos um dos dois jovens adultos selecionados esteja vivendo na casa de seus pais.
  • (b) A probabilidade de que nenhum dos dois esteja vivendo na casa de seus pais.
Informações fornecidas (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
  • A probabilidade de um jovem adulto viver com seus pais é \,0,56.
  • A probabilidade de uma mulher jovem adulta viver com seus pais é \,0,42.
  • Se selecionamos um jovem e uma mulher jovem adulta, a probabilidade de que ambos estejam vivendo na casa de seus pais é \,0,24.
Observação: estamos selecionando duas pessoas diferentes (uma do primeiro tipo e outra do segundo), e o enunciado já nos deu a probabilidade conjunta de ambos viverem com os pais ( \,0,24). Com isso, temos tudo que precisamos para responder (a) e (b).

Passo 2

Definições de eventos e notação (isso ajuda a organizar a cabeça):
  • Seja A o evento “o jovem (primeira pessoa) vive com os pais”.
  • Seja B o evento “a mulher jovem (segunda pessoa) vive com os pais”.
  • Então temos: P(A)=0,56,\qquad P(B)=0,42,\qquad P(A\cap B)=0,24.
Aqui P(A\cap B) significa a probabilidade de que os dois eventos ocorram ao mesmo tempo (ou seja, ambos vivem com os pais).

Passo 3

Como calcular “pelo menos um” em linguagem de probabilidade:
  • O evento “pelo menos um vive com os pais” é o evento união A\cup B (ou A ou B ou ambos).
  • A fórmula básica de probabilidade para a união de dois eventos é (regra da inclusão-exclusão): P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicação intuitiva: somamos P(A) e P(B), mas quem pertence a ambos foi contado duas vezes, por isso subtraímos P(A\cap B) uma vez para corrigir.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos números do enunciado para achar (a):
  • Substituindo: P(A\cup B)=0,56+0,42-0,24.
  • Fazendo as contas passo a passo: 0,56+0,42=0,98,
0,98-0,24=0,74.
Portanto, a probabilidade de que pelo menos um dos dois viva com os pais é \,0,74.

Passo 5

Como calcular “nenhum deles” — uso do complemento:
  • O evento “nenhum vive com os pais” é o complementar de A\cup B, ou seja (A\cup B)^{c}.
  • A probabilidade de um complementar é: P\bigl((A\cup B)^{c}\bigr)=1-P(A\cup B).
  • Substituindo o resultado do passo anterior: P\bigl((A\cup B)^{c}\bigr)=1-0,74=0,26.
Logo, a probabilidade de que nenhum dos dois viva com os pais é \,0,26.

Passo 6

Checagem rápida e motivação:
  • Soma das duas probabilidades pedidas: 0,74+0,26=1,00, o que faz sentido (ou acontece “pelo menos um” ou “nenhum”, cobrem todo o espaço amostral).
  • Bom trabalho por chegar até aqui — essas fórmulas de união e complemento são as ferramentas mais úteis para problemas desse tipo. Na prova, identifique eventos, use inclusão-exclusão para “ou”, e complemento para “nenhum” ou “nenhum/nenhuma”.

Resposta

a) 0,74
b) 0,26

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