Uma pesquisa realizada indica que pessoas usam seus computadores em média durante 2,0 anos antes de adquirir uma nova máquina. Suponha que a variável x seja normalmente distribuída e que o desvio padrão seja 0,8 ano, logo a probabilidade de selecionar uma pessoa que utiliza o próprio computador entre 1,6 e 2,3 anos antes de troca-lo é?
Gabarito: 33,95%

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre quanto tempo, em média, as pessoas usam seus computadores antes de trocar. A gente sabe que o tempo segue uma distribuição normal, que é aquele modelo de “curva em forma de sino”. A média desse tempo é de 2,0 anos e o desvio padrão é de 0,8 ano. A gente vai precisar usar a distribuição normal para calcular a probabilidade de uma pessoa usar o computador entre 1,6 e 2,3 anos antes de trocar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que pra resolver isso, a gente precisa padronizar os valores usando o z-score. O z-score nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula do z-score é:
z = (x - mu)sigma
onde:
  • $ x $ é o valor que estamos analisando,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.

Passo 3

Vamos calcular o z-score para os dois valores: 1,6 anos e 2,3 anos.
Para $ x = 1,6 $:
x = 1,6
Para $ x = 2,3 $:
z1 = (1,6 - 2,0)0,8 = -0,40,8 = -0,5

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
Para $ z_1 = -0,5 $, a tabela nos dá a probabilidade de estar abaixo desse valor. Geralmente, $ P(Z < -0,5) $ é aproximadamente 0,3085 ou 30,85%.
Para $ z_2 = 0,375 $, $ P(Z < 0,375) $ é aproximadamente 0,6472 ou 64,72%.

Passo 5

A probabilidade de uma pessoa usar o computador entre 1,6 e 2,3 anos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(1,6 < X < 2,3) = P(Z < 0,375) - P(Z < -0,5)
P = 0,6472 - 0,3085 = 0,3387
Convertendo para porcentagem, temos 33,87%.

Resposta

A probabilidade é de aproximadamente 33,95%.

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