Aplique a regra das malhas para mostrar que a equação diferencial que governa o processo de carga é dq/dt
, onde
é a força eletromotriz da fonte de tensão elétrica,
a resistência do resistor
, com C sendo a capacitância do capacitor.
Passo 1
O que o enunciado pede: aplicar a regra das malhas para mostrar que a equação diferencial que descreve a carga do capacitor é
onde
é a fem (fonte de tensão),
é a resistência,
é a capacitância do capacitor e
.
Informações dadas (úteis para começar):
- A fonte tem tensão constante
. - Há um resistor de resistência
e um capacitor de capacitância conectados em série com a fonte (situação típica de carga de capacitor). - Denotamos por
a carga no capacitor no instante . - Precisaremos das relações básicas para capacitor e corrente: a tensão no capacitor relaciona-se com a carga por
e a corrente é a taxa de variação da carga . - Está indicado que
.
Passo 2
Explicando a regra das malhas (KVL) de forma simples: em um circuito fechado a soma algébrica das quedas de tensão ao longo da malha é igual à soma algébrica das fontes. Ou seja, somando do mesmo sentido ao redor da malha,
No nosso circuito em série temos uma fonte
, uma queda
no resistor e uma queda
no capacitor. Aplicando KVL ao percurso completo obtemos (escrevo a igualdade isolando a fonte do lado esquerdo, forma mais direta):
Passo 3
Agora vou explicar as relações que vamos substituir nessa equação:
- Corrente e carga: por definição elétrica, corrente é a variação da carga no tempo. Em símbolos,
Unidades: carga
em coulombs (
), tempo em segundos (
), então
em ampère (
).
- Tensão no capacitor: a capacitância
é definida pela relação . Isolando temos
Unidades:
em farads (
), então
em volts (
).
Essas duas relações são fundamentais para transformar a equação algébrica da malha numa equação diferencial em
.
Passo 4
Substituímos
e
em
:
Expliquei cada termo:
é a queda de tensão no resistor (Lei de Ohm
com
) e
é a tensão no capacitor.
Passo 5
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem. Dividindo tudo por
para isolar
:
Agora usamos a definição do tempo característico
:
Substituindo
obtemos exatamente a forma pedida:
Passo 6
Comentário didático rápido (como resolver esse tipo de equação na prova): a equação
é uma equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficiente constante. O estado estacionário (solução particular constante) é
. Com condição inicial
a solução geral é
Isto mostra que a carga tende exponencialmente para
com constante de tempo
. Se
, fica
.