Aplique a regra das malhas para mostrar que a equação diferencial que governa o processo de carga é dq/dt +q / \tau=\varepsilon / R, onde \varepsilon é a força eletromotriz da fonte de tensão elétrica, R a resistência do resistor \mathbf{e} \boldsymbol{\tau}=\mathbf{R C}, com C sendo a capacitância do capacitor.

Passo 1

O que o enunciado pede: aplicar a regra das malhas para mostrar que a equação diferencial que descreve a carga do capacitor é
\frac{dq}{dt}+\frac{q}{\tau}=\frac{\varepsilon}{R},
onde \varepsilon é a fem (fonte de tensão), R é a resistência, C é a capacitância do capacitor e \tau=RC.
Informações dadas (úteis para começar):
  • A fonte tem tensão constante \varepsilon.
  • Há um resistor de resistência R e um capacitor de capacitância C conectados em série com a fonte (situação típica de carga de capacitor).
  • Denotamos por q(t) a carga no capacitor no instante t.
  • Precisaremos das relações básicas para capacitor e corrente: a tensão no capacitor relaciona-se com a carga por v_C = q/C e a corrente é a taxa de variação da carga i = \dfrac{dq}{dt}.
  • Está indicado que \tau = RC.

Passo 2

Explicando a regra das malhas (KVL) de forma simples: em um circuito fechado a soma algébrica das quedas de tensão ao longo da malha é igual à soma algébrica das fontes. Ou seja, somando do mesmo sentido ao redor da malha,
\text{somas das fontes} - \text{somas das quedas} = 0.
No nosso circuito em série temos uma fonte \varepsilon, uma queda iR no resistor e uma queda v_C no capacitor. Aplicando KVL ao percurso completo obtemos (escrevo a igualdade isolando a fonte do lado esquerdo, forma mais direta):
\varepsilon = iR + v_C.

Passo 3

Agora vou explicar as relações que vamos substituir nessa equação:
  • Corrente e carga: por definição elétrica, corrente é a variação da carga no tempo. Em símbolos,
i = \frac{dq}{dt}.
Unidades: carga q em coulombs ( \mathrm{C}), tempo em segundos ( \mathrm{s}), então i em ampère ( \mathrm{A}=\mathrm{C/s}).
  • Tensão no capacitor: a capacitância C é definida pela relação q = C v_C. Isolando v_C temos
v_C = \frac{q}{C}.
Unidades: C em farads ( \mathrm{F}=\mathrm{C/V}), então v_C em volts ( \mathrm{V}).
Essas duas relações são fundamentais para transformar a equação algébrica da malha numa equação diferencial em q(t).

Passo 4

Substituímos i e v_C em \varepsilon = iR + v_C:
\varepsilon = R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}.
Expliquei cada termo: R\frac{dq}{dt} é a queda de tensão no resistor (Lei de Ohm V_R=iR com i=dq/dt) e \dfrac{q}{C} é a tensão no capacitor.

Passo 5

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem. Dividindo tudo por R para isolar \dfrac{dq}{dt}:
\frac{dq}{dt} + \frac{q}{RC} = \frac{\varepsilon}{R}.
Agora usamos a definição do tempo característico \tau:
\tau = RC.
Substituindo \tau obtemos exatamente a forma pedida:
\frac{dq}{dt} + \frac{q}{\tau} = \frac{\varepsilon}{R}.

Passo 6

Comentário didático rápido (como resolver esse tipo de equação na prova): a equação
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau}q = \frac{\varepsilon}{R}
é uma equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficiente constante. O estado estacionário (solução particular constante) é q_{\infty}=C\varepsilon. Com condição inicial q(0)=q_0 a solução geral é
q(t)=q_{\infty}+\bigl(q_0-q_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau} = C\varepsilon + \bigl(q_0-C\varepsilon\bigr)e^{-t/\tau}.
Isto mostra que a carga tende exponencialmente para C\varepsilon com constante de tempo \tau. Se q_0=0, fica q(t)=C\varepsilon\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).

Resposta

\frac{dq}{dt}+\frac{q}{\tau}=\frac{\varepsilon}{R}

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