Um pesquisador instalou um experimento para avaliar o efeito do horário de colheita e da marca da colhedora na perda de grãos de soja. Para isto foram escolhidas três marcas de colhedoras ( \mathrm{C}_{\mathrm{A}}, \mathrm{C}_{\mathrm{B}} e \mathrm{C}_{\mathrm{C}} ) e três horários de colheita ( \mathrm{H}_{1}= Manhã, \mathrm{H}_{2}= Tarde e \mathrm{H}_{3}= Noite). O pesquisador definiu como unidade experimental uma área de 10 \times 20 metros, segundo o delineamento inteiramente casualizado, totalizando uma área útil de 9000 \mathrm{~m}^{2}. Os tratamentos testados estão descrito a seguir:
T1 = Colhedora Marca A - Colheita pela manhã
T2 = Colhedora Marca A - Colheita a tarde
T3 = Colhedora Marca A - Colheita a noite
T4 = Colhedora Marca B - Colheita pela manhã
T5 = Colhedora Marca B - Colheita a tarde
T6 = Colhedora Marca B - Colheita a noite
T7 = Colhedora Marca C - Colheita pela manhã
T8 = Colhedora Marca C - Colheita a tarde
T9 = Colhedora Marca C - Colheita a noite
Abaixo são apresentados os dados resumidos em relação à perda de grãos (em kg/ha).
Tratamentos T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9
Totais \left(\mathrm{T}_{\mathrm{i}}\right) 208 217 282 250 261 329 288 317 367
Pede-se:
a) O número de parcelas e número de repetições.
b) Complete a tabela da análise de variância, interprete- a , admitindo que \mathbf{S Q} Erro =\mathbf{3 4 2 , 0 0}.
Table 1: Tabela 1: Anova para o parâmetro avaliado, segundo o delineamento inteiramente casualizado.
\captionsetup{labelformat=empty}
Fontes de variação GL SQ QM \mathbf{F}_{\mathbf{c}}
Tratamentos
Erro 342,00
Total
c) Caso necessário, aplique o teste de Tukey e informe:
c.1) O valor da D.M. S. ( \Delta ) de Tukey.
c.2) Indique o(s) melhor(es) e o(s) pior(es) tratamento(s) em relação ao parâmetro avaliado, destacando a marca da colhedora e o horário de colheita.

Passo 1

O enunciado dá um experimento com 9 tratamentos (combinações de 3 marcas de colhedora e 3 horários). Cada unidade experimental é uma área de 10\times20\\ \text{m}. A área total útil foi de 9000\\ \text{m}^2. Foram fornecidos os totais por tratamento (soma dos valores nas repetições) em kg/ha:
  • T_1=208, T_2=217, T_3=282, T_4=250, T_5=261, T_6=329, T_7=288, T_8=317, T_9=367.
Perguntas:
a) Número de parcelas (unidades experimentais) e número de repetições por tratamento.
b) Completar a tabela ANOVA, sabendo que \text{SQ}_{\text{Erro}}=342{,}00.
c) Aplicar, se necessário, teste de Tukey e informar:
c.1) o valor da D.M.S. de Tukey ( \Delta);
c.2) indicar o(s) melhor(es) e pior(es) tratamento(s) em termos de perda de grãos, explicitando marca da colhedora e horário.

Passo 2

Calcular número de parcelas e repetições. Cada parcela tem área 10\times20=200\\ \text{m}^2. A área total é 9000\\ \text{m}^2. Logo o número de parcelas é
\frac{9000}{200}=45.
Como há 9 tratamentos, o número de repetições por tratamento é
\frac{45}{9}=5.
Portanto: 45 parcelas no total e 5 repetições por tratamento.

Passo 3

Preparar quantidades para a ANOVA. Notações:
  • t = número de tratamentos =9.
  • r = número de repetições por tratamento =5.
  • N = número total de observações =tr=45.
  • T_i = total do tratamento i (fornecidos).
  • G = somatório geral =\sum_{i=1}^9 T_i.
Calcular G:
G = 208+217+282+250+261+329+288+317+367=2519.
Calcular \sum T_i^2 (soma dos quadrados dos totais por tratamento). Fiz as contas:
\sum_{i=1}^9 T_i^2 = 726861.

Passo 4

Explicar a fórmula de soma de quadrados dos tratamentos e calcular \text{SQ}_{\text{Trat}}.
Teoria rápida (bem didática):
  • Em delineamento inteiramente casualizado com um fator, a soma de quadrados de tratamentos é dada por
\text{SQ}_{\text{Trat}}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^t T_i^2 - \frac{G^2}{N}.
Aqui T_i é o total do i-ésimo tratamento (soma das r observações), r é número de repetições, G é a soma geral e N é o total de observações. A ideia: primeiro computa-se a “soma de quadrados explicada pelos tratamentos” assumindo cada tratamento constante, depois subtrai-se o efeito do total geral para centralizar.
Agora calculo:
\frac{1}{r}\sum T_i^2 = \frac{726861}{5}=145372{,}2.
\frac{G^2}{N}=\frac{2519^2}{45}=\frac{6\,345\,361}{45}=141008{,}022222\ldots
\text{SQ}_{\text{Trat}}=145372{,}2-141008{,}022222\ldots = 4364{,}177778\ldots
Arredondando para duas casas: \text{SQ}_{\text{Trat}}=4364{,}18.

Passo 5

Graus de liberdade e soma de quadrados total:
  • Graus de liberdade:
    • Tratamentos: df_{\text{Trat}}=t-1=9-1=8.
    • Erro: df_{\text{Erro}}=N-t=45-9=36.
    • Total: df_{\text{Total}}=N-1=45-1=44.
  • Soma de quadrados:
    • Foi dado \text{SQ}_{\text{Erro}}=342{,}00.
    • Logo \text{SQ}_{\text{Total}}=\text{SQ}_{\text{Trat}}+\text{SQ}_{\text{Erro}}=4364{,}177778+342{,}00=4706{,}177778.
      Arredondando: \text{SQ}_{\text{Total}}=4706{,}18.

Passo 6

Calcular quadrados médios (QM) e o valor de F.
Fórmulas:
\text{QM}_{\text{Trat}}=\frac{\text{SQ}_{\text{Trat}}}{df_{\text{Trat}}},\qquad \text{QM}_{\text{Erro}}=\frac{\text{SQ}_{\text{Erro}}}{df_{\text{Erro}}},\qquad F_c=\frac{\text{QM}_{\text{Trat}}}{\text{QM}_{\text{Erro}}}.
Cálculos:
\text{QM}_{\text{Trat}}=\frac{4364{,}177778}{8}=545{,}52222225\approx545{,}52.
\text{QM}_{\text{Erro}}=\frac{342{,}00}{36}=9{,}5.
F_c=\frac{545{,}522222}{9{,}5}\approx57{,}42.

Passo 7

Interpretação da ANOVA (como fazer na prova): compara-se F_c com F_{(0{,}05;\,df_1=df_{\text{Trat}},\,df_2=df_{\text{Erro}})}. Para df_1=8 e df_2=36 o F_{0{,}05} tabelado é próximo de 2{,}2 (valor típico). Como F_c\approx57{,}42\gg 2{,}2, rejeita-se a hipótese nula de que todas as médias são iguais. Conclusão: existem diferenças estatisticamente significativas entre pelo menos dois tratamentos (a 5% de significância).

Passo 8

Preparar e executar o teste de Tukey (post‑hoc).
Teoria e fórmula:
  • O critério de Tukey para diferença mínima significativa (D.M.S. ou \Delta) é
\Delta = q_{\alpha;\,t,\,df_{\text{Erro}}}\times\sqrt{\frac{\text{QM}_{\text{Erro}}}{r}},
onde q_{\alpha;\,t,\,df} é o valor crítico da distribuição studentizada da amplitude (tabela de Tukey / studentized range) para nível \alpha, t é o número de tratamentos e r o número de repetições.
Calcular \sqrt{\frac{\text{QM}_{\text{Erro}}}{r}}:
\sqrt{\frac{9{,}5}{5}}=\sqrt{1{,}9}=1{,}378404875\ldots
Valor crítico q:
  • Usando a tabela de rango studentizado para \alpha=0{,}05, t=9 e df_{\text{Erro}}=36, toma‑se q_{0{,}05;\,9,36}\approx4{,}04 (valor tabelado; nas provas é aceitável citar o valor da tabela).
Logo,
\Delta = 4{,}04\times1{,}378404875\approx5{,}57.

Passo 9

Calcular as médias dos tratamentos e comparar pelo Tukey.
Médias (cada T_i dividido por r=5):
\begin{aligned} \overline{X}_1&=\frac{208}{5}=41{,}6,\\\ \overline{X}_2&=\frac{217}{5}=43{,}4,\\\ \overline{X}_3&=\frac{282}{5}=56{,}4,\\\ \overline{X}_4&=\frac{250}{5}=50{,}0,\\\ \overline{X}_5&=\frac{261}{5}=52{,}2,\\\ \overline{X}_6&=\frac{329}{5}=65{,}8,\\\ \overline{X}_7&=\frac{288}{5}=57{,}6,\\\ \overline{X}_8&=\frac{317}{5}=63{,}4,\\\ \overline{X}_9&=\frac{367}{5}=73{,}4. \end{aligned}
Critério de comparação: duas médias diferem significativamente quando a diferença absoluta entre elas é maior que \Delta\approx5{,}57.
Comparando (diferenças em kg/ha):
  • Os menores valores: \overline{X}_1=41{,}6 e \overline{X}_2=43{,}4. Diferença entre elas =1{,}8<\Delta → não diferem.
  • Entre \overline{X}_1 ou \overline{X}_2 e tratamentos como \overline{X}_4=50{,}0 a diferença é >5{,}57 → são significativamente maiores que T_1,T_2.
  • Agrupamentos por Tukey (com \Delta=5{,}57) ficam, de forma prática:
    • Grupo com menores perdas: T_1 e T_2 (não se diferenciam entre si, e ambos são significativamente menores que muitos outros).
    • Grupo intermediário: T_4(50{,}0), T_5(52{,}2), T_3(56{,}4), T_7(57{,}6). Dentro desse grupo há várias comparações não significativas entre vizinhos (ex.: T_5 vs T_3 dif = 4{,}2<\Delta; T_3 vs T_7 dif = 1{,}2<\Delta), mas todos são significativamente maiores que T_1,T_2 e significativamente menores que os maiores.
    • Grupo com perdas altas: T_8(63{,}4) e T_6(65{,}8) (não diferem entre si), estes são significativamente maiores que o grupo intermediário em geral.
    • Maior perda isolada: T_9(73{,}4) é significativamente maior que todos os demais.

Passo 10

Interpretação prática (como responder na prova):
  • Há diferença significativa entre tratamentos (ANOVA).
  • Pelo teste de Tukey com \Delta\approx5{,}57, os melhores tratamentos (menores perdas de grãos) são T_1 e T_2, ambos da Marca A (colheita pela manhã e pela tarde). O pior tratamento (maior perda) é T_9 — Colhedora Marca C, colheita à noite. Tratamentos T_6 (Marca B — noite) e T_8 (Marca C — tarde) também apresentam perdas altas e formam um grupo de maiores perdas (mas abaixo de T_9).

Resposta

a) Número de parcelas: 45. Número de repetições por tratamento: 5.
b) Tabela ANOVA (valores arredondados):
Tratamentos: GL =8; SQ =4364{,}18; QM =545{,}52; F_c\approx57{,}42.
Erro: GL =36; SQ =342{,}00; QM =9{,}50.
Total: GL =44; SQ =4706{,}18.
c.1) D.M.S. de Tukey (5%): \Delta\approx5{,}57 (usando q_{0{,}05;9,36}\approx4{,}04).
c.2) Melhores tratamentos (menor perda): T_1= Marca A — Manhã e T_2= Marca A — Tarde (não se diferenciam entre si).
Pior tratamento (maior perda): T_9= Marca C — Noite.
Outros com perdas altas (grupo superior): T_8= Marca C — Tarde e T_6= Marca B — Noite.

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