(PARA PESQUISAR… Energia armazenada no campo)
(a) Mostre que a energia eletrostática de uma distribuição contínua pode ser expressa como:
(b) Aplique essa expressão para o caso da esfera uniformemente carregada.
(a) Mostre que a energia eletrostática de uma distribuição contínua pode ser expressa como:
Passo 1
O enunciado pede dois itens:
(a) mostrar que a energia eletrostática de uma distribuição contínua de carga pode ser escrita como
(a) mostrar que a energia eletrostática de uma distribuição contínua de carga pode ser escrita como
(b) usar essa forma para calcular
no caso de uma esfera de raio
com carga total
uniformemente distribuída.
Passo 2
Começo lembrando que, montando a distribuição de cargas “de pouquinho em pouquinho”, a energia total pode ser escrita como
onde
é a densidade de carga e
o potencial gerado por toda a distribuição.
Passo 3
Usamos a relação de Poisson
e
. Substituindo em
dá
Passo 4
Aplicamos a identidade vetorial
e lembramos que
. Então
Integrando em todo o espaço e usando o teorema da divergência, o termo
vira uma superfície no infinito que zera (pois
). Resta
Passo 5
Logo
que é exatamente o que queríamos mostrar em (a).
Passo 6
Agora, em (b), aplico essa fórmula à esfera uniformemente carregada de raio
e carga total
. Em coordenas esféricas, separo a integral em duas regiões:
(dentro) e
(fora).
Passo 7
Para
, o teorema de Gauss dá
Passo 8
A contribuição interna é
Passo 9
Para
, a esfera se comporta como carga pontual,
Passo 10
A contribuição externa é
Passo 11
Somando interna e externa e multiplicando por
resulta
Resposta
(a)
(b)