(PARA PESQUISAR… Energia armazenada no campo)
(a) Mostre que a energia eletrostática de uma distribuição contínua pode ser expressa como:
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int|\vec{E}|^{2} d \tau
(b) Aplique essa expressão para o caso da esfera uniformemente carregada.

Passo 1

O enunciado pede dois itens:
(a) mostrar que a energia eletrostática de uma distribuição contínua de carga pode ser escrita como
U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int |\vec E|^{2}\,d\tau
(b) usar essa forma para calcular U no caso de uma esfera de raio R com carga total Q uniformemente distribuída.

Passo 2

Começo lembrando que, montando a distribuição de cargas “de pouquinho em pouquinho”, a energia total pode ser escrita como
U = \frac12 \int \rho(\vec r)\,\varphi(\vec r)\,d\tau,
onde \rho(\vec r) é a densidade de carga e \varphi(\vec r) o potencial gerado por toda a distribuição.

Passo 3

Usamos a relação de Poisson \rho = \varepsilon_{0}\,\nabla\!\cdot\!\vec E e \vec E = -\nabla\varphi. Substituindo em U
U = \frac12\,\varepsilon_{0}\int \varphi\,(\nabla\!\cdot\!\vec E)\,d\tau.

Passo 4

Aplicamos a identidade vetorial
\nabla\!\cdot(\varphi\,\vec E) = \varphi\,(\nabla\!\cdot\!\vec E) + \vec E\!\cdot\nabla\varphi
e lembramos que \nabla\varphi = -\vec E. Então
\varphi\,(\nabla\!\cdot\!\vec E) = \nabla\!\cdot(\varphi\,\vec E) + |\vec E|^{2}.
Integrando em todo o espaço e usando o teorema da divergência, o termo \int\nabla\!\cdot(\varphi\vec E)\,d\tau vira uma superfície no infinito que zera (pois \varphi\vec E\sim1/r^3). Resta
\int \varphi\,(\nabla\!\cdot\!\vec E)\,d\tau = \int |\vec E|^{2}\,d\tau.

Passo 5

Logo
U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int |\vec E|^{2}\,d\tau,
que é exatamente o que queríamos mostrar em (a).

Passo 6

Agora, em (b), aplico essa fórmula à esfera uniformemente carregada de raio R e carga total Q. Em coordenas esféricas, separo a integral em duas regiões: 0\le r\le R (dentro) e R\le r<\infty (fora).

Passo 7

Para 0\le r\le R, o teorema de Gauss dá
|\vec E(r)| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Qr}{R^{3}}.

Passo 8

A contribuição interna é
\int_{0}^{R}|\vec E|^{2}\,4\pi r^{2}dr =\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}R^{6}}\;4\pi\int_{0}^{R}r^{4}dr =\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}R^{6}}\;\frac{R^{5}}{5} =\frac{Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}^{2}R}.

Passo 9

Para r\ge R, a esfera se comporta como carga pontual,
|\vec E(r)| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}.

Passo 10

A contribuição externa é
\int_{R}^{\infty}|\vec E|^{2}\,4\pi r^{2}dr =\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}}\;4\pi\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} =\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\;\frac{1}{R} =\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}R}.

Passo 11

Somando interna e externa e multiplicando por \varepsilon_{0}/2 resulta
U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\Bigl(\frac{Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}^{2}R} +\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}R}\Bigr) =\frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}R} =\frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q^{2}}{R}.

Resposta

(a) U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int|\vec E|^{2}\,d\tau.
(b) U = \frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0}R} = \frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q^{2}}{R}.

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