(Casca esférica) Uma casca esférica de raio
e carga
está centrada na origem.
(a) Calcule o potencial em um ponto
externo (
).
(b) Mostre que o resultado é equivalente a uma carga pontual
no centro.
(c) Discuta a situação para
.
(a) Calcule o potencial em um ponto
(b) Mostre que o resultado é equivalente a uma carga pontual
(c) Discuta a situação para
Passo 1
O enunciado trata de uma casca esférica de raio
com carga total
uniformemente distribuída sobre a superfície, centrada na origem. Queremos calcular o potencial elétrico
em um ponto
situado a uma distância
do centro, tanto para
(parte a e b) quanto para
(parte c). Vamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico
e a definição de potencial
Passo 2
Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície esférica de raio
:
- Para , toda a carga
está dentro da superfície Gaussiana, logo
- Para
- Para
, não há carga no interior da casca, de modo que
Passo 3
Para
, usamos a relação
e substituímos
:
Passo 4
O resultado
é exatamente o potencial de uma carga pontual
situada na origem. Isso mostra a equivalência pedida na parte (b).
Passo 5
Para
, temos
, portanto o potencial é constante em todo o interior da casca. Esse valor constante é igual ao potencial na superfície
:
Resposta
(a) Para
:
(b) Esse mesmo resultado é o potencial de uma carga pontual
na origem, pois
.
(c) Para
:
(é constante no interior).