(Casca esférica) Uma casca esférica de raio R e carga Q está centrada na origem.
(a) Calcule o potencial em um ponto P externo ( r>R ).
(b) Mostre que o resultado é equivalente a uma carga pontual Q no centro.
(c) Discuta a situação para r<R.

Passo 1

O enunciado trata de uma casca esférica de raio R com carga total Q uniformemente distribuída sobre a superfície, centrada na origem. Queremos calcular o potencial elétrico V(r) em um ponto P situado a uma distância r do centro, tanto para r>R (parte a e b) quanto para r<R (parte c). Vamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) e a definição de potencial
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\,.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície esférica de raio r:
- Para r>R, toda a carga Q está dentro da superfície Gaussiana, logo
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \;\;\Longrightarrow\;\; E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,.
- Para r<R, não há carga no interior da casca, de modo que
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 \quad\Longrightarrow\quad E(r)=0\,.

Passo 3

Para r>R, usamos a relação
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'
e substituímos E(r') = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r'^2}:
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r'^2}\,dr' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\int_{r}^{\infty}\frac{1}{r'^2}\,dr' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}\,.

Passo 4

O resultado
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r} \quad (r>R)
é exatamente o potencial de uma carga pontual Q situada na origem. Isso mostra a equivalência pedida na parte (b).

Passo 5

Para r<R, temos E(r)=0, portanto o potencial é constante em todo o interior da casca. Esse valor constante é igual ao potencial na superfície r=R:
V(r) = V(R) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R} \quad (r<R).

Resposta

(a) Para r>R:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}.
(b) Esse mesmo resultado é o potencial de uma carga pontual Q na origem, pois V_{\text{ponto}}(r)=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q/r.
(c) Para r<R:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}
(é constante no interior).

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