(Anel carregado) Um anel de raio R possui carga total Q distribuída uniformemente.
(a) Calcule o potencial em um ponto do eixo do anel.
(b) Obtenha o campo elétrico a partir de E=-\frac{d V}{d z}.
(c) Discuta os limites: z \gg R e z \ll R.

Passo 1

O enunciado trata de um anel de raio R com carga total Q distribuída uniformemente. Precisamos usar o conceito de potencial eletrostático gerado por uma distribuição contínua de carga para pontos sobre o eixo do anel, depois obter o campo elétrico por derivada E_z=-\frac{dV}{dz} e, por fim, discutir o comportamento assintótico para z\gg R e z\ll R.

Passo 2

Em um ponto do eixo, todo elemento de carga dq do anel está à mesma distância r=\sqrt{z^2+R^2} do ponto considerado. O potencial devido a dq vale
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{dq}{r}\,.
Como a distribuição é uniforme, integra-se dq em todo o anel, totalizando Q. Logo
V(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{\sqrt{z^2+R^2}}\,.

Passo 3

O campo elétrico no eixo é dado pela derivada negativa do potencial em relação a z:
E_z(z) = -\frac{dV}{dz} = -\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr] = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,z}{\bigl(z^2+R^2\bigr)^{3/2}}\,.

Passo 4

Para z\gg R faz-se expansão em série:
\sqrt{z^2+R^2}=z\Bigl(1+\frac{R^2}{2z^2}+\cdots\Bigr)
de onde
V(z)\approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{z}\Bigl(1-\frac{R^2}{2z^2}+\cdots\Bigr), \qquad E_z(z)\approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{z^2}\Bigl(1-\frac{3R^2}{2z^2}+\cdots\Bigr).
Para z\ll R usa-se
\sqrt{z^2+R^2}=R\Bigl(1+\frac{z^2}{2R^2}+\cdots\Bigr)
e obtém-se
V(z)\approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{R}\Bigl(1-\frac{z^2}{2R^2}+\cdots\Bigr), \qquad E_z(z)\approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,z}{R^3}\,,
ou seja, para z\ll R o campo cresce linearmente com z.

Resposta

(a) V(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{\sqrt{z^2+R^2}}.
(b) E_z(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,z}{\bigl(z^2+R^2\bigr)^{3/2}}.
(c) Para z\gg R, V\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{z} e E_z\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{z^2}. Para z\ll R, V\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}\bigl(1-\frac{z^2}{2R^2}\bigr) e E_z\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q\,z}{R^3}.

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