Pesquise um exemplo de um corpo ordenado não arquimediano.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar um exemplo concreto de um corpo ordenado que seja não arquimediano.
Informações relevantes: preciso fornecer um corpo (campo) com uma ordem total que seja compatível com as operações e, em seguida, mostrar que a propriedade arquimediana falha nesse corpo (ou seja, existe algum elemento positivo tão pequeno que nenhum inteiro somado vezes ele ultrapassa 1).

Passo 2

Apresento o exemplo que vamos construir: o corpo das funções racionais com coeficientes reais, que denotamos por \mathbb{R}(x). Aqui cada elemento é uma expressão da forma
\frac{p(x)}{q(x)}
onde p e q são polinômios reais e q não é o polinômio nulo. Primeiro vou explicar por que isso é um corpo.
Axioma de corpo: a soma e o produto de duas funções racionais são funções racionais; a inversa multiplicativa de uma função racional não nula é outra função racional; a associatividade, distributividade e etc. seguem da álgebra dos polinômios. Portanto \mathbb{R}(x) é um corpo.

Passo 3

Agora vamos definir uma ordem total em \mathbb{R}(x). A ordem que usaremos é a ordem “eventual” quando se considera x como variável real tendendo a +\infty. Formalmente, para f\in\mathbb{R}(x) definimos:
f>0 \quad\text{se existir }M\in\mathbb{R}\text{ tal que para todo }t>M\text{ temos }f(t)>0.
Ou seja: f é positivo se sua avaliação em números reais suficientemente grandes for positiva. Essa é uma ordem total sobre \mathbb{R}(x) porque, para duas funções racionais diferentes, o sinal delas para t grande acaba se estabilizando (veja Passo 4).

Passo 4

Por que essa ordenação faz sentido (sinal estabiliza)?
Se f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p e q polinômios reais, então, ao olhar para t\to+\infty, o comportamento de f(t) é governado pelos termos de maior grau de p e q. Se \deg p - \deg q = d, então para t grande temos aproximadamente f(t)\sim c\,t^{d} onde c é o quociente dos coeficientes dominantes. Assim o sinal de f(t) é constante para t suficientemente grande (ou é identicamente zero, se p e q cancelarem). Portanto a definição de positividade “para t suficientemente grande” é bem definida e leva a uma ordem total (cada função é, para t grande, positiva, negativa ou zero).

Passo 5

Verificação de que é um corpo ordenado (ordem compatível com operações):
  • Se f>0 e g>0 então, para t suficientemente grande, f(t)>0 e g(t)>0. Assim f(t)+g(t)>0 e f(t)g(t)>0 para t grande, logo f+g>0 e fg>0 na ordem eventual.
  • Se f>0 então 1/f>0 porque para t grande f(t)>0 e então 1/f(t)>0.
    Esses fatos mostram que a ordem é compatível com soma e multiplicação, logo \mathbb{R}(x) com essa ordem é um corpo ordenado.

Passo 6

Definição da propriedade arquimediana (para recapitular o que queremos quebrar): um corpo ordenado F é arquimediano se, para quaisquer a,b\in F com a>0, existe um inteiro natural n tal que
n a > b.
Uma forma comum de ver a falha é encontrar um elemento positivo \varepsilon tal que, para todo n\in\mathbb{N}, n\varepsilon < 1. Um tal \varepsilon é chamado de infinitesimal.

Passo 7

Agora mostro explicitamente que \mathbb{R}(x) com a ordem eventual não é arquimediano. Considere o elemento
\varepsilon = \frac{1}{x}\in\mathbb{R}(x).
Primeiro, \varepsilon>0 porque para todo t>0 (em particular para t suficientemente grande) temos 1/t>0. Agora pegue qualquer inteiro natural n. Observe que a função racional
\frac{n}{x}-1=\frac{n-x}{x}
é negativa para todo t>n (pois então n-t<0 e x=t>0). Portanto, na ordem eventual temos
\frac{n}{x} < 1,
ou seja n\varepsilon < 1. Como isso vale para todo n\in\mathbb{N}, não existe n com n\varepsilon>1. Logo a propriedade arquimediana falha em \mathbb{R}(x).

Passo 8

Resumo e intuição final (modo “amigo”): o que fizemos foi criar um corpo onde a variável x é “infinitamente grande” em relação aos números reais: funções como 1/x atuam como infinitesimais. Isso quebra a ideia arquimediana (de que somando bastante vezes qualquer pequeno positivo a gente ultrapassa 1). Esse exemplo é simples e concreto; existem outros exemplos (por exemplo corpos de séries de Laurent formais \mathbb{R}((t)) ordenados por expoente mínimo), e também os hiperreais da análise não padronizada, mas \mathbb{R}(x) com a ordem eventual é um dos mais diretos para entender o fenômeno.

Resposta

O corpo \mathbb{R}(x) das funções racionais com coeficientes reais, ordenado por “positividade para x suficientemente grande” (isto é, f>0 se f(t)>0 para todo t maior que algum M), é um corpo ordenado não arquimediano (por exemplo \varepsilon=1/x>0 e n\varepsilon<1 para todo n\in\mathbb{N}).

Exercícios relacionados