Pesquise um exemplo de um corpo ordenado não arquimediano.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar um exemplo concreto de um corpo ordenado que seja não arquimediano.
Informações relevantes: preciso fornecer um corpo (campo) com uma ordem total que seja compatível com as operações e, em seguida, mostrar que a propriedade arquimediana falha nesse corpo (ou seja, existe algum elemento positivo tão pequeno que nenhum inteiro somado vezes ele ultrapassa 1).
Informações relevantes: preciso fornecer um corpo (campo) com uma ordem total que seja compatível com as operações e, em seguida, mostrar que a propriedade arquimediana falha nesse corpo (ou seja, existe algum elemento positivo tão pequeno que nenhum inteiro somado vezes ele ultrapassa 1).
Passo 2
Apresento o exemplo que vamos construir: o corpo das funções racionais com coeficientes reais, que denotamos por
. Aqui cada elemento é uma expressão da forma
onde
e
são polinômios reais e
não é o polinômio nulo. Primeiro vou explicar por que isso é um corpo.
Axioma de corpo: a soma e o produto de duas funções racionais são funções racionais; a inversa multiplicativa de uma função racional não nula é outra função racional; a associatividade, distributividade e etc. seguem da álgebra dos polinômios. Portanto é um corpo.
Axioma de corpo: a soma e o produto de duas funções racionais são funções racionais; a inversa multiplicativa de uma função racional não nula é outra função racional; a associatividade, distributividade e etc. seguem da álgebra dos polinômios. Portanto
Passo 3
Agora vamos definir uma ordem total em
. A ordem que usaremos é a ordem “eventual” quando se considera
como variável real tendendo a
. Formalmente, para
definimos:
Ou seja:
é positivo se sua avaliação em números reais suficientemente grandes for positiva. Essa é uma ordem total sobre
porque, para duas funções racionais diferentes, o sinal delas para
grande acaba se estabilizando (veja Passo 4).
Passo 4
Por que essa ordenação faz sentido (sinal estabiliza)?
Se com
e
polinômios reais, então, ao olhar para
, o comportamento de
é governado pelos termos de maior grau de
e
. Se
, então para
grande temos aproximadamente
onde
é o quociente dos coeficientes dominantes. Assim o sinal de
é constante para
suficientemente grande (ou é identicamente zero, se
e
cancelarem). Portanto a definição de positividade “para
suficientemente grande” é bem definida e leva a uma ordem total (cada função é, para
grande, positiva, negativa ou zero).
Se
Passo 5
Verificação de que é um corpo ordenado (ordem compatível com operações):
- Se
e então, para suficientemente grande, e . Assim e para grande, logo e na ordem eventual. - Se
então porque para grande e então .
Esses fatos mostram que a ordem é compatível com soma e multiplicação, logocom essa ordem é um corpo ordenado.
Passo 6
Definição da propriedade arquimediana (para recapitular o que queremos quebrar): um corpo ordenado
é arquimediano se, para quaisquer
com
, existe um inteiro natural
tal que
Uma forma comum de ver a falha é encontrar um elemento positivo
tal que, para todo
,
. Um tal
é chamado de infinitesimal.
Passo 7
Agora mostro explicitamente que
com a ordem eventual não é arquimediano. Considere o elemento
Primeiro,
porque para todo
(em particular para
suficientemente grande) temos
. Agora pegue qualquer inteiro natural
. Observe que a função racional
é negativa para todo
(pois então
e
). Portanto, na ordem eventual temos
ou seja
. Como isso vale para todo
, não existe
com
. Logo a propriedade arquimediana falha em
.
Passo 8
Resumo e intuição final (modo “amigo”): o que fizemos foi criar um corpo onde a variável
é “infinitamente grande” em relação aos números reais: funções como
atuam como infinitesimais. Isso quebra a ideia arquimediana (de que somando bastante vezes qualquer pequeno positivo a gente ultrapassa 1). Esse exemplo é simples e concreto; existem outros exemplos (por exemplo corpos de séries de Laurent formais
ordenados por expoente mínimo), e também os hiperreais da análise não padronizada, mas
com a ordem eventual é um dos mais diretos para entender o fenômeno.
Resposta
O corpo
das funções racionais com coeficientes reais, ordenado por “positividade para
suficientemente grande” (isto é,
se
para todo
maior que algum
), é um corpo ordenado não arquimediano (por exemplo
e
para todo
).