Mostre os seguintes itens:
Considerando
como subconjunto de
, mostre que não existe
que seja uma cota superior para
Considerando
Passo 1
O que o exercício pede: provar que, considerando
como subconjunto de
, não existe
que seja cota superior de
.
Informações dadas e objetivo claro:
- Temos o conjunto dos naturais
(por exemplo ) e o conjunto dos racionais . - “Cota superior” significa o seguinte: um número
é cota superior de se e somente se todo elemento de for menor ou igual a ; em símbolos, é cota superior se . - Precisamos mostrar que para qualquer
existe algum tal que . Isso prova que nenhum racional pode servir de cota superior para .
Passo 2
Definição útil (explicada): cota superior.
Um número é cota superior de
quando todos os naturais estão abaixo de
. Para negar isso (mostrar que
não é cota superior) basta encontrar um natural maior que
. Então a meta prática é: dado um
, construir explicitamente um
com
.
Um número
Vou tratar dois casos simples que cobrem todas as possibilidades para
:
e
.
Passo 3
Caso 1:
.
Se então qualquer natural positivo serve para ultrapassar
. Por exemplo,
e claramente
Se
logo existe
(por exemplo
) com
. Portanto
não é cota superior.
Passo 4
Caso 2:
.
Como , podemos escrever
na forma de fração de inteiros:
Como
com
e
(ou seja,
). Aqui, como
, temos
.
Explicação didática rápida: todo racional pode ser escrito como
com
(basta escolher um representante da classe de frações).
Passo 5
Construção do natural maior que
.
Defina o natural
Defina o natural
Note que
porque
,
e soma de naturais é natural.
Agora vamos comparar
com
. Calculamos a diferença:
Substituindo
no numerador:
Observações sobre esse numerador:
-
porque ; -
; -
porque e (já que ).
Portanto
ou seja
. Como
, concluímos que
logo
.
Assim para este caso (quando
) construímos explicitamente um
com
.
Passo 6
Conclusão lógica final: nos dois casos (quando
e quando
) mostramos que, dado qualquer
, existe
tal que
. Isso significa que nenhum
satisfaz a condição "para todo
,
". Portanto não existe cota superior racional para
.
Resposta
Não existe
que seja cota superior de
.