Mostre os seguintes itens:
Considerando \mathbb{N} como subconjunto de \mathbb{Q}, mostre que não existe r \in \mathbb{Q} que seja uma cota superior para \mathbb{N}

Passo 1

O que o exercício pede: provar que, considerando \mathbb{N} como subconjunto de \mathbb{Q}, não existe r\in\mathbb{Q} que seja cota superior de \mathbb{N}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Temos o conjunto dos naturais \mathbb{N} (por exemplo 1,2,3,\dots) e o conjunto dos racionais \mathbb{Q}.
  • “Cota superior” significa o seguinte: um número r é cota superior de \mathbb{N} se e somente se todo elemento de \mathbb{N} for menor ou igual a r; em símbolos, r é cota superior se \forall n\in\mathbb{N}:\; n\le r.
  • Precisamos mostrar que para qualquer r\in\mathbb{Q} existe algum n\in\mathbb{N} tal que n>r. Isso prova que nenhum racional pode servir de cota superior para \mathbb{N}.

Passo 2

Definição útil (explicada): cota superior.
Um número r é cota superior de \mathbb{N} quando todos os naturais estão abaixo de r. Para negar isso (mostrar que r não é cota superior) basta encontrar um natural maior que r. Então a meta prática é: dado um r\in\mathbb{Q}, construir explicitamente um n\in\mathbb{N} com n>r.
Vou tratar dois casos simples que cobrem todas as possibilidades para r: r<0 e r\ge 0.

Passo 3

Caso 1: r<0.
Se r<0 então qualquer natural positivo serve para ultrapassar r. Por exemplo, 1\in\mathbb{N} e claramente
1>0>r,
logo existe n\in\mathbb{N} (por exemplo n=1) com n>r. Portanto r não é cota superior.

Passo 4

Caso 2: r\ge 0.
Como r\in\mathbb{Q}, podemos escrever r na forma de fração de inteiros:
r=\frac{p}{q},
com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N} (ou seja, q>0). Aqui, como r\ge 0, temos p\ge 0.
Explicação didática rápida: todo racional pode ser escrito como \frac{p}{q} com q>0 (basta escolher um representante da classe de frações).

Passo 5

Construção do natural maior que r.
Defina o natural
n := p+q+1.
Note que n\in\mathbb{N} porque p\ge 0, q\ge 1 e soma de naturais é natural.
Agora vamos comparar n com r=\dfrac{p}{q}. Calculamos a diferença:
n-\frac{p}{q}=\frac{nq-p}{q}.
Substituindo n=p+q+1 no numerador:
nq-p=(p+q+1)q-p = pq+q^2+q-p = q^2+q+p(q-1).
Observações sobre esse numerador:
  • q^2\ge 1 porque q\ge 1;
  • q\ge 1;
  • p(q-1)\ge 0 porque p\ge 0 e q-1\ge 0 (já que q\ge 1).
Portanto
nq-p = q^2+q+p(q-1) \ge q^2+q \ge 1,
ou seja nq-p>0. Como q>0, concluímos que
n-\frac{p}{q}=\frac{nq-p}{q}>0,
logo n> \dfrac{p}{q}=r.
Assim para este caso (quando r\ge 0) construímos explicitamente um n\in\mathbb{N} com n>r.

Passo 6

Conclusão lógica final: nos dois casos (quando r<0 e quando r\ge 0) mostramos que, dado qualquer r\in\mathbb{Q}, existe n\in\mathbb{N} tal que n>r. Isso significa que nenhum r\in\mathbb{Q} satisfaz a condição "para todo n\in\mathbb{N}, n\le r". Portanto não existe cota superior racional para \mathbb{N}.

Resposta

Não existe r\in\mathbb{Q} que seja cota superior de \mathbb{N}.

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