Questão 3. Assinale as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
i) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n}>0, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}^{2} também converge.
ii) ( ) Se a_{n}>0 para todo n \in \mathrm{~N} e a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então a série \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} também converge.
iii) ( ) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin \left(n^{2}\right)}{n^{2}} é convergente.
iv) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left|a_{n}\right| também converge.
v) ( ) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n} é divergente.
As questões 1 e 2 valem 3,0 pontos cada e cada item da questão 3 vale 1,0 ponto.
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale cada uma das cinco afirmativas i)–v) como verdadeira ou falsa. As afirmativas são:
i) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n}>0, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}^{2} também converge.
ii) Se a_{n}>0 para todo n\in\mathbb{N} e a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então a série \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} também converge.
iii) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin\left(n^{2}\right)}{n^{2}} é convergente.
iv) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left|a_{n}\right| também converge.
v) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n} é divergente.
Informações importantes dadas implicitamente: quando a soma \sum a_n converge e a_n>0 significa que os termos são não-negativos e a série é uma série de termos positivos convergente; em alguns itens posso usar testes clássicos (comparação, integral, teste da série p, etc.). Vou decidir verdadeiro/falso e justificar cada item passo a passo, com explicações didáticas.
Passo 2
Conceitos básicos que vou usar e que você precisa entender antes de cada item:
A série \sum a_n com termos positivos converge se e somente se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n formam uma sequência limitada e crescente (logo têm limite finito).
Se uma série \sum a_n converge então os termos satisfazem \lim_{n\to\infty} a_n=0. Isso é necessário, mas não suficiente.
Teste da comparação: se 0\le b_n\le c_n para n grande e \sum c_n converge, então \sum b_n converge. Se b_n\ge c_n\ge 0 e \sum c_n diverge, então \sum b_n diverge.
Convergência absoluta: \sum a_n converge absolutamente se \sum |a_n| converge; absoluta implica convergente, mas o recíproco pode falhar (há séries convergentes que não são absolutamente convergentes — chamadas condicionais).
Teste integral: se f é positiva, contínua e decrescente em [N,\infty), então \sum_{n=N}^{\infty} f(n) converge ou diverge junto com \int_N^\infty f(x)\,dx.
Vou aplicar esses conceitos em cada item, explicando cada passo e dando exemplos quando necessário.
Passo 3
Item i): “Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n}>0, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}^{2} também converge.”
Explicação ensinada passo a passo:
Como \sum a_n converge com a_n>0, sabemos que \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Isso significa que existe N tal que, para todo n\ge N, tem-se 0<a_n<1. (Porque se uma sequência tende a 0, eventualmente fica menor que 1.)
Para n\ge N e com 0<a_n<1 vale a_n^2 \le a_n (porque multiplicando por a_n<1 diminui o número positivo).
Logo, para a cauda da série temos 0\le a_n^2 \le a_n para n\ge N. Pelo teste da comparação, como \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge (é a cauda de uma série convergente), então \sum_{n=N}^{\infty} a_n^2 também converge.
A soma completa \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 difere da cauda por um número finito de termos \sum_{n=1}^{N-1} a_n^2, que é finito. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 converge.
Conclusão: o raciocínio é direto e não exige exemplos especiais — é uma consequência do fato de que os termos vão a zero e, a partir de certo ponto, os quadrados são menores que os próprios termos. Portanto o item i) é verdadeiro.
Passo 4
Item ii): “Se a_{n}>0 para todo n\in\mathbb{N} e a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então a série \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} também converge.”
Estratégia: demonstrar se é verdadeiro em geral ou dar contraexemplo se for falso. Vou construir um contraexemplo simples e didático.
Construção do contraexemplo:
Tome a_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Então a_n>0 para todo n e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (série p com p=2>1).
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica e diverge.
Assim, aqui temos \sum a_n convergente, mas \sum \sqrt{a_n} divergente.
Explicação didática do porquê isso não é surpreendente: para números em (0,1) temos \sqrt{x}>x. Quando os a_n são pequenos (como 1/n^2), a raiz quadrada os torna “maiores” de modo que a nova série pode divergir. Logo não existe garantia geral de que tomar raiz dos termos preserve convergência.
Conclusão: o item ii) é falso, comprovado por contraexemplo.
Passo 5
Item iii): “A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin\left(n^{2}\right)}{n^{2}} é convergente.”
Explicação e teste utilizado:
Observe que para todo n vale |\sin\left(n^{2}\right)|\le 1. Isso é uma propriedade elementar da função seno.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente (série p com p=2>1).
Pelo teste da comparação de séries absolutas, já que \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge e \left|\dfrac{\sin(n^{2})}{n^{2}}\right|\le \dfrac{1}{n^{2}}, segue que \sum \left|\dfrac{\sin(n^{2})}{n^{2}}\right| converge.
Como a série converge absolutamente, ela converge (convergência absoluta implica convergência).
Conclusão: o item iii) é verdadeiro.
Passo 6
Item iv): “Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left|a_{n}\right| também converge.”
Explicação e contraexemplo (se falso):
A afirmação diz que toda série convergente é absolutamente convergente. Isso, porém, não é verdade em geral: existem séries convergentes que não têm soma de valores absolutos convergente; chamamos isso de convergência condicional.
Um contraexemplo clássico é a série alternante harmônica: escolha a_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} converge pelo critério de Leibniz (termos alternados com módulo decrescente a 0).
Contudo \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge.
Portanto existe série convergente cuja série dos módulos diverge; a afirmação geral é falsa.
Comentário didático: convergência absoluta é uma propriedade mais forte; sempre que temos absoluta, temos convergência, mas nem toda convergência é absoluta.
Conclusão: o item iv) é falso.
Passo 7
Item v): “A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n} é divergente.”
Explicação com o teste integral (passo a passo didático):
Considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x\ge 2. Essa função é positiva, contínua e decrescente para x grande o suficiente (por exemplo, para x\ge 3 já é decrescente).
Pelo teste integral, \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n} e \int_{2}^{\infty} \dfrac{\ln x}{x}\,dx têm o mesmo tipo de convergência (ambas convergem ou ambas divergem).
Vamos calcular a integral imprópria:
\int_{2}^{T} \frac{\ln x}{x}\,dx.
Use a substituição u=\ln x, então du=\dfrac{1}{x}\,dx. A integral fica
Fazendo T\to\infty vemos que \frac{(\ln T)^{2}}{2}\to\infty. Logo a integral diverge.
Pelo teste integral, a série \sum \dfrac{\ln n}{n} também diverge.
Observação alternativa (mais curta): usando o teste da condensação de Cauchy, nota-se que os termos condensados são do tipo k\ln 2 e a soma diverge; isso dá a mesma conclusão.