Pesquise onde são utilizadas as equações de Legendre:
onde n é um inteiro não negativo.
(a) Resolva a equação;
(b) Determine os polinômios de Legendre.
(a) Resolva a equação;
(b) Determine os polinômios de Legendre.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Legendre
onde
é um inteiro não negativo, e em seguida determinar os polinômios de Legendre. O conteúdo envolvido é solução de EDOs pelo método de séries de potências e construção de polinômios ortogonais.
Passo 2
Essas equações aparecem em várias áreas da física e matemática aplicada, por exemplo na separação da equação de Laplace em coordenadas esféricas (potencial gravitacional ou eletrostático), na mecânica quântica (momentos angulares), nas expansões em harmônicos esféricos e em métodos de quadratura (fórmula de Gauss–Legendre para integração numérica).
Passo 3
Proponha uma solução em série de potências centrada em
:
Calculamos
substituímos em
e reindexamos de modo a igualar potências de
.
Passo 4
A comparação termo a termo leva à relação de recorrência
para
. Isso mostra que existem duas séries, uma com
livre (termos pares) e outra com
livre (termos ímpares). A solução geral é combinação linear das duas.
Passo 5
Quando
é inteiro não negativo, para
o numerador se anula e todos os coeficientes seguintes ficam zero, fazendo a série truncar e gerando um polinômio de grau
. A outra série (iniciada em
) gera a função irregular
que diverge em
. Assim a solução geral é
e
é a única solução polinomial regular em
.
Passo 6
Uma fórmula prática para
é a fórmula de Rodrigues:
Os primeiros polinômios são
Resposta
(a) A solução geral é
onde
é o polinômio de Legendre de grau
e
a função de segunda espécie.
(b) Os polinômios de Legendre são dados por Rodrigues
(b) Os polinômios de Legendre são dados por Rodrigues
com