Pesquise onde são utilizadas as equações de Legendre:
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+n(n+1) y=0
onde n é um inteiro não negativo.
(a) Resolva a equação;
(b) Determine os polinômios de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Legendre
(1 - x^2)\,y'' - 2x\,y' + n(n+1)\,y = 0
onde n é um inteiro não negativo, e em seguida determinar os polinômios de Legendre. O conteúdo envolvido é solução de EDOs pelo método de séries de potências e construção de polinômios ortogonais.

Passo 2

Essas equações aparecem em várias áreas da física e matemática aplicada, por exemplo na separação da equação de Laplace em coordenadas esféricas (potencial gravitacional ou eletrostático), na mecânica quântica (momentos angulares), nas expansões em harmônicos esféricos e em métodos de quadratura (fórmula de Gauss–Legendre para integração numérica).

Passo 3

Proponha uma solução em série de potências centrada em x=0:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,x^k.
Calculamos
y'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k\,a_k\,x^{k-1},\quad y''(x)=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,a_k\,x^{k-2},
substituímos em (1 - x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 e reindexamos de modo a igualar potências de x^m.

Passo 4

A comparação termo a termo leva à relação de recorrência
a_{m+2}=\frac{m(m+1)-n(n+1)}{(m+2)(m+1)}\,a_m,
para m\ge0. Isso mostra que existem duas séries, uma com a_0 livre (termos pares) e outra com a_1 livre (termos ímpares). A solução geral é combinação linear das duas.

Passo 5

Quando n é inteiro não negativo, para m=n o numerador se anula e todos os coeficientes seguintes ficam zero, fazendo a série truncar e gerando um polinômio de grau n. A outra série (iniciada em a_1) gera a função irregular Q_n(x) que diverge em x=\pm1. Assim a solução geral é
y(x)=C_1\,P_n(x)+C_2\,Q_n(x),
e P_n(x) é a única solução polinomial regular em [-1,1].

Passo 6

Uma fórmula prática para P_n(x) é a fórmula de Rodrigues:
P_n(x)=\frac{1}{2^n\,n!}\,\frac{d^n}{dx^n}\bigl[(x^2-1)^n\bigr].
Os primeiros polinômios são
P_0(x)=1,\quad P_1(x)=x,\quad P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\quad P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),\;\dots

Resposta

(a) A solução geral é
y(x)=C_1\,P_n(x)+C_2\,Q_n(x),
onde P_n é o polinômio de Legendre de grau n e Q_n a função de segunda espécie.
(b) Os polinômios de Legendre são dados por Rodrigues
P_n(x)=\frac{1}{2^n\,n!}\,\frac{d^n}{dx^n}\bigl[(x^2-1)^n\bigr],
com
P_0(x)=1,\;P_1(x)=x,\;P_2(x)=\tfrac12(3x^2-1),\;P_3(x)=\tfrac12(5x^3-3x),\dots

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