\left(1,3\right. pontos) Identifique e dê os elementos da seguinte cônica 4 x^{2}-y^{2}-32 x+4 y+56=0. Faça o gráfico com os elementos encontrados.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^{2}-y^{2}-32x+4y+56=0
e pede para identificar que tipo de cônica é, encontrar seus elementos principais (centro, vértices, focos, assíntotas, eixos) e esboçar o gráfico. Vamos precisar completar quadrados em x e y para pôr na forma padrão.

Passo 2

Reescrevemos agrupando x e y:
4(x^{2}-8x)\;-\;(y^{2}-4y)\;+\;56=0.
Agora completamos quadrado em cada parêntese:
x^{2}-8x=(x-4)^{2}-16
y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo,
4\bigl((x-4)^{2}-16\bigr)\;-\;\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)\;+\;56=0
4(x-4)^{2}-64\;-\;(y-2)^{2}+4\;+\;56=0
4(x-4)^{2}- (y-2)^{2} -4=0
4(x-4)^{2} - (y-2)^{2} =4.
Dividindo ambos os lados por 4,
\frac{(x-4)^{2}}{1}\;-\;\frac{(y-2)^{2}}{4}=1.
Esta é a forma padrão de uma hipérbole.

Passo 3

Da forma
\frac{(x-4)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-2)^{2}}{b^{2}} = 1
vemos que
a^{2}=1,\quad b^{2}=4.
Logo a=1 e b=2. O centro da hipérbole é
(4,2).
O eixo transverso é horizontal (já que o termo positivo é o de x).

Passo 4

– Vértices: distam a=1 do centro ao longo do eixo x, isto é,
V_{1}=(4+1,2)=(5,2),\quad V_{2}=(4-1,2)=(3,2).
– Focos: c satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+4=5, logo c=\sqrt{5}.
F_{1}=(4+\sqrt{5},2),\quad F_{2}=(4-\sqrt{5},2).
– Assíntotas: retas passando pelo centro com inclinações \pm b/a=\pm2.
y-2 = 2(x-4), \quad y-2 = -2(x-4).

Passo 5

Esboçando o gráfico:
  1. Marque o centro em (4,2).
  2. Desenhe os vértices em (5,2) e (3,2).
  3. Trace as assíntotas y-2=2(x-4) e y-2=-2(x-4).
  4. Desenhe os ramos da hipérbole abrindo-se horizontalmente, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com:
Centro: (4,2)
Valores: a=1, b=2, c=\sqrt{5}
Vértices: (5,2) e (3,2)
Focos: \bigl(4+\sqrt{5},2\bigr) e \bigl(4-\sqrt{5},2\bigr)
Assíntotas:
y-2 = 2(x-4), \quad y-2 = -2(x-4).

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