Um próton se move ao longo do eixo x de acordo com a equaçäo x=50 t+10 t^{2}, \mathrm{em} que x está em metros e t está em segundos. Calcule a velocidade instantânea do próton no instante t=3,0 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do próton em função do tempo e pede a velocidade instantânea em um instante específico. Dados fornecidos:
  • A função posição é x(t)=50\,t+10\,t^{2}, onde x está em metros e t em segundos.
  • O instante pedido é t=3,0\\ \text{s}.
O que se pede:
  • Calcular a velocidade instantânea do próton em t=3,0\\ \text{s}.

Passo 2

O que é “velocidade instantânea” e como a definimos matematicamente.
  • A velocidade média entre dois instantes t e t+\Delta t é a variação da posição dividida pela variação do tempo:
\text{velocidade média}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t},é
onde x(t) é a posição no tempo t e \Delta t é um pequeno intervalo de tempo.
  • A velocidade instantânea em um instante t é o limite da velocidade média quando \Delta t tende a zero:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.
Essa definição é exatamente a definição de derivada da função posição x(t). Então, de forma prática, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Explicando as letras:
  • x(t) é a posição em função do tempo.
  • v(t) é a velocidade em função do tempo.
  • \frac{dx}{dt} significa “derivar x em relação a t”, isto é, calcular a taxa instantânea de variação de x com t.

Passo 3

Regras básicas de derivação que vamos usar (explicadas com exemplos simples).
  • Regra da soma/constante: a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função.
  • Regra do poder (power rule): \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1} para n real. Exemplo: \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
  • Derivada de a\,t (com a constante) é a: \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(a\,t\bigr)=a.
Esses são suficientes para derivar polinômios como o dado no enunciado.

Passo 4

Aplicar as regras para encontrar v(t)=\dfrac{dx}{dt} a partir de x(t)=50\,t+10\,t^{2}.
  • Derivada do primeiro termo 50\,t: usando \dfrac{d}{dt}(a\,t)=a, obtemos \dfrac{d}{dt}(50\,t)=50.
  • Derivada do segundo termo 10\,t^{2}: usando a regra do poder, \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t, e multiplicando pela constante 10 obtém-se \dfrac{d}{dt}(10\,t^{2})=10\cdot 2t=20t.
Somando as derivadas (regra da soma):
v(t)=\frac{dx}{dt}=50+20\,t.

Passo 5

Avaliar a expressão de v(t) no instante pedido t=3,0\\ \text{s}.
  • Substituindo t=3,0 em v(t)=50+20\,t:
v(3,0)=50+20\cdot 3,0.
  • Calculemos:
20\cdot 3,0=60,
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v(3,0)=50+60=110.
  • Unidade: como x estava em metros e t em segundos, a unidade de v é metros por segundo. Portanto v(3,0)=110\\ \text{m/s}.

Passo 6

Verificação rápida (intuição via média): se for feito o cálculo da velocidade média entre t=3,0 e t=3,0+h e tomada a hipótese h\to0, chega-se ao mesmo resultado 110\\ \text{m/s}. Isso confirma que o procedimento de derivar está coerente com a definição limite da velocidade instantânea.

Passo 7

Interpretação física e incentivo:
  • v(3,0)=110\\ \text{m/s} indica que no instante 3,0\\ \text{s} o próton se move no sentido positivo do eixo x com velocidade de 110\\ \text{m/s}.
  • Bom trabalho chegando até aqui — derivadas de polinômios são um dos casos mais comuns em provas; praticar algumas dessas dá bastante confiança.

Resposta

110\\ \text{m/s}

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