Um próton se move ao longo do eixo x de acordo com a equaçäo
que
está em metros e t está em segundos. Calcule a velocidade instantânea do próton no instante
Passo 1
O enunciado nos dá a posição do próton em função do tempo e pede a velocidade instantânea em um instante específico. Dados fornecidos:
- A função posição é
, onde está em metros e em segundos. - O instante pedido é
.
O que se pede:
- Calcular a velocidade instantânea do próton em
.
Passo 2
O que é “velocidade instantânea” e como a definimos matematicamente.
- A velocidade média entre dois instantes
e é a variação da posição dividida pela variação do tempo:
onde
é a posição no tempo
e
é um pequeno intervalo de tempo.
- A velocidade instantânea em um instante
é o limite da velocidade média quando tende a zero:
Essa definição é exatamente a definição de derivada da função posição
. Então, de forma prática, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Explicando as letras:
-
é a posição em função do tempo. -
é a velocidade em função do tempo. -
significa “derivar em relação a ”, isto é, calcular a taxa instantânea de variação de com .
Passo 3
Regras básicas de derivação que vamos usar (explicadas com exemplos simples).
- Regra da soma/constante: a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função.
- Regra do poder (power rule):
para real. Exemplo: . - Derivada de
(com constante) é : .
Esses são suficientes para derivar polinômios como o dado no enunciado.
Passo 4
Aplicar as regras para encontrar
a partir de
.
- Derivada do primeiro termo
: usando , obtemos . - Derivada do segundo termo
: usando a regra do poder, , e multiplicando pela constante obtém-se .
Somando as derivadas (regra da soma):
Passo 5
Avaliar a expressão de
no instante pedido
.
- Substituindo
em :
- Calculemos:
logo
- Unidade: como
estava em metros e em segundos, a unidade de é metros por segundo. Portanto .
Passo 6
Verificação rápida (intuição via média): se for feito o cálculo da velocidade média entre
e
e tomada a hipótese
, chega-se ao mesmo resultado
. Isso confirma que o procedimento de derivar está coerente com a definição limite da velocidade instantânea.
Passo 7
Interpretação física e incentivo:
-
indica que no instante o próton se move no sentido positivo do eixo com velocidade de . - Bom trabalho chegando até aqui — derivadas de polinômios são um dos casos mais comuns em provas; praticar algumas dessas dá bastante confiança.