Uma pessoa começa a receber um medicamento através de um soro e a quantidade boldsymbol{Q}, em mg , do mesmo em sua corrente sanguínea varia de acordo com a função \mathrm{Q}(\mathrm{t})=-\mathrm{t}^{2}+6 \mathrm{t}+20, sendo t o tempo em horas desde o início da aplicação do soro.
a) Após quanto tempo do início da aplicação do soro, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea é máxima?

Passo 1

O enunciado dá a função da quantidade de medicamento na corrente sanguínea
Q(t) = -t^{2} + 6t + 20
com t em horas, e pede o instante em que essa quantidade é máxima. Para resolver, vamos usar cálculo de derivadas e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
Q'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-t^{2} + 6t + 20\bigr) = -2t + 6
e encontramos o ponto crítico resolvendo
Q'(t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2t + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.

Passo 3

Para verificar que esse ponto é um máximo, usamos a segunda derivada:
Q''(t) = \frac{d}{dt}(-2t + 6) = -2.
Como Q''(t) = -2 < 0, a concavidade para baixo confirma que t=3 é um ponto de máximo.

Resposta

Após 3 horas.

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