Uma pessoa comum desafia um atleta profissional para uma corrida. O atleta decide dar uma vantagem de partir 30 m à frente, e ambos começam a correr, o profissional mantendo uma velocidade de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o amador a 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sendo uma corrida de 400 m , determine quem chegará primeiro.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quem chega primeiro numa corrida de 400\\ \mathrm{m} quando o atleta profissional dá uma vantagem de 30\\ \mathrm{m} ao amador. As informações fornecidas são:
  • vantagem do amador: 30\\ \mathrm{m};
  • velocidade do atleta profissional: 8\\ \mathrm{m/s};
  • velocidade do amador: 6\\ \mathrm{m/s};
  • comprimento da corrida (distância até a linha de chegada medida a partir do ponto de partida do profissional): 400\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Interpretação das distâncias que cada um precisa percorrer até a chegada:
  • O profissional parte do ponto de referência e precisa correr a distância total da prova, ou seja \,400\\ \mathrm{m}\,.
  • O amador parte 30\\ \mathrm{m} à frente, então precisa correr a distância restante até a linha de chegada:
\text{distância do amador} = 400 - 30 = 370\\ \mathrm{m}.â

Passo 3

Fórmula básica para movimento com velocidade constante. Para um corpo que se move com velocidade constante \,v, a relação entre distância \,d, velocidade \,v e tempo \,t é:
d = v\,t.
Desse modo, o tempo necessário para percorrer uma distância d a uma velocidade v é
t = \frac{d}{v},
onde:
  • \,d é a distância a percorrer (em metros),
  • \,v é a velocidade constante (em metros por segundo),
  • \,t é o tempo (em segundos).

Passo 4

Calcular o tempo que o profissional leva para completar os 400\\ \mathrm{m}, usando \,t=\dfrac{d}{v}:
t_{\text{prof}}=\frac{400}{8}.
Fazendo a conta:
t_{\text{prof}}=50\\ \mathrm{s},
pois 8\cdot50=400.

Passo 5

Calcular o tempo que o amador leva para completar os 370\\ \mathrm{m}:
t_{\text{ama}}=\frac{370}{6}.
Podemos simplificar ou escrever em forma decimal:
t_{\text{ama}}=\frac{185}{3}\\ \mathrm{s}\approx 61{,}666\ldots\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Comparação dos tempos: temos
t_{\text{prof}}=50\\ \mathrm{s}\quad\text{e}\quad t_{\text{ama}}\approx 61{,}667\\ \mathrm{s}.
Como \,t_{\text{prof}}<t_{\text{ama}}\,, o profissional termina a corrida antes do amador. Para ver a margem:
t_{\text{ama}}-t_{\text{prof}}=\frac{185}{3}-50=\frac{35}{3}\\ \mathrm{s}\approx 11{,}667\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Uma explicação alternativa (intuitiva): o profissional alcança o amador rapidamente porque é mais veloz. O tempo para o profissional “alcançar” o amador (eliminar a vantagem de 30\\ \mathrm{m}) é
t_{\text{alcance}}=\frac{30}{8-6}=\frac{30}{2}=15\\ \mathrm{s}.
Nesse instante ambos estão no mesmo ponto, mas o profissional continua mais rápido e percorre o resto do percurso antes do amador — chegando, no total, em 50\\ \mathrm{s} contra aproximadamente 61{,}667\\ \mathrm{s}.

Resposta

O atleta profissional chegará primeiro; tempos: 50\\ \mathrm{s} (profissional) e \dfrac{185}{3}\\ \mathrm{s}\approx 61{,}667\\ \mathrm{s} (amador).

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