Um carro faz um percurso de 500 km , sendo que mantém uma velocidade escalar média de 100 \mathrm{km} / \mathrm{h} nos primeiros 200 km . Qual deve ser a velocidade do segundo trecho, para que a velocidade escalar média do trajeto total seja de 110 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente cada dado):
  • Distância total percorrida: D=500\\ \mathrm{km}.
  • Primeiro trecho: d_1=200\\ \mathrm{km} com velocidade escalar média v_1=100\\ \mathrm{km/h}.
  • Segundo trecho: d_2 é o resto do percurso, ou seja d_2=500-200=300\\ \mathrm{km}.
  • Deseja-se que a velocidade escalar média do trajeto total seja v_{\text{m}}=110\\ \mathrm{km/h}.
O que o problema pergunta:
  • Qual deve ser a velocidade escalar média no segundo trecho, v_2, para que a velocidade média do trajeto todo seja 110\\ \mathrm{km/h}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rapidinha): a velocidade escalar média em um percurso é definida como “distância total dividida pelo tempo total gasto”. Em símbolos:
v_{\text{m}}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}=\frac{D}{t_{\text{total}}}.â
Aqui:
  • D é a distância total ( 500\\ \mathrm{km}),
  • t_{\text{total}} é o tempo total gasto em horas.
Importante: NÃO se calcula a velocidade média como a média aritmética das velocidades dos trechos, salvo em casos especiais. A razão é que a média aritmética trata cada velocidade com o mesmo peso, enquanto a velocidade média dá peso ao tempo gasto em cada velocidade. Exemplo curtinho para fixar: se se anda 100\\ \mathrm{km} a 100\\ \mathrm{km/h} e depois 100\\ \mathrm{km} a 50\\ \mathrm{km/h}, a média aritmética das velocidades é \dfrac{100+50}{2}=75\\ \mathrm{km/h}, mas a velocidade média real é
\frac{200}{1+2}=\frac{200}{3}\approx66{,}67\\ \mathrm{km/h},
porque o segundo trecho consumiu mais tempo.

Passo 3

Calcular o tempo gasto no primeiro trecho usando a relação tempo = distância / velocidade:
t_1=\frac{d_1}{v_1}=\frac{200}{100}=2\\ \mathrm{h}.
Expliquei passo a passo: dividir 200\\ \mathrm{km} por 100\\ \mathrm{km/h} 2 horas.

Passo 4

Calcular o tempo total permitido para atingir a velocidade média desejada:
t_{\text{total}}=\frac{D}{v_{\text{m}}}=\frac{500}{110}=\frac{50}{11}\\ \mathrm{h}.
Mostrei a simplificação: dividir numerador e denominador por 10 \dfrac{50}{11}. Em decimal isso é aproximadamente 4{,}545454\ldots horas.

Passo 5

Encontrar quanto tempo resta para o segundo trecho:
t_2=t_{\text{total}}-t_1=\frac{50}{11}-2=\frac{50-22}{11}=\frac{28}{11}\\ \mathrm{h}.
Em decimal, t_2\approx2{,}545454\ldots horas. Observação útil para a prova: se esse t_2 tivesse dado um número negativo, seria impossível atingir a média pedida (teríamos já gasto tempo demais no primeiro trecho).

Passo 6

Agora calculamos a velocidade necessária no segundo trecho pela fórmula v_2=\dfrac{d_2}{t_2}. Substituindo d_2=300\\ \mathrm{km} e t_2=\dfrac{28}{11}\\ \mathrm{h}:
v_2=\frac{300}{\tfrac{28}{11}}=300\cdot\frac{11}{28}=\frac{3300}{28}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 4):
v_2=\frac{825}{7}\\ \mathrm{km/h}.
Em decimal:
v_2\approx117{,}857142\ldots\\ \mathrm{km/h}\approx117{,}86\\ \mathrm{km/h}.
Comentário prático: na prova você pode deixar como fração exata \dfrac{825}{7}\\ \mathrm{km/h} ou arredondar para 117{,}9\\ \mathrm{km/h} ou 118\\ \mathrm{km/h}, conforme instrução do exame.

Resposta

v_2=\dfrac{825}{7}\\ \mathrm{km/h}\approx117{,}857\\ \mathrm{km/h}

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