Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de
, para transportar uma vazão de água de
. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo,
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- comprimento da adutora:
. - diferença de cotas (carga disponível):
. - vazão requerida:
. - rugosidade absoluta do tubo (aço galvanizado novo):
. - o enunciado sugere/fornece um diâmetro de referência
(vou usar isto como chute inicial e verificar se fecha com os cálculos).
- comprimento da adutora:
-
O que o problema pede:
- determinar o diâmetro interno da tubulação que permite transportar a vazão
por gravidade entre os reservatórios com a diferença de cotas .
- determinar o diâmetro interno da tubulação que permite transportar a vazão
Passo 2
Modelagem física e fórmulas principais — explicação didática.
- Para escoamento em conduto cheio por gravidade, a perda de carga por atrito ao longo do comprimento deve consumir a diferença de cotas disponível (aqui desconsideramos perdas singulares). A equação de energia reduz a:
onde
é a perda de carga por atrito dada pela equação de Darcy–Weisbach:
Expliquei cada termo:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), que depende de Reynolds e rugosidade relativa. -
é comprimento da tubulação (m). -
é o diâmetro interno da tubulação (m) — é a incógnita. -
é a velocidade média do fluido (m/s). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
A velocidade média
relaciona-se com por:
- O fator de atrito
para regime turbulento em tubulações rugosas é dado implicitamente pela equação de Colebrook. Para agilizar cálculos sem resolver implicitamente, usa-se frequentemente a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação):
onde
é o número de Reynolds:
Observação útil: substituindo
obtemos uma expressão simples para
:
ou seja,
é inversamente proporcional a
quando
e
são dados.
- Vamos usar a viscosidade cinemática da água à temperatura ambiente como
. Essa é uma boa aproximação para água entre 10–25 °C.
Estratégia de solução (prática para prova): combinar as equações acima para obter uma equação em
. Como
depende de
que depende de
, faremos uma iteração: escolhemos um
inicial (aqui
é um bom chute), calculamos
,
,
, e então verificamos se
. Se não, usamos a relação fechada abaixo para atualizar
com o
estimado e repetimos até convergir.
Também é útil isolar
a partir de Darcy quando
é conhecido: substituindo
em
obtemos
Rearranjando:
Isso permite calcular um novo
a partir de um
estimado.
Passo 3
Primeira iteração: chute
. Calcular
,
,
(Swamee–Jain) e
.
- Área e velocidade:
- Número de Reynolds:
(esse valor confirma regime turbulento, pois
.)
- Termos da fórmula de Swamee–Jain:
Soma interna:
Aplicando Swamee–Jain:
- Agora
com :
Comparação com a carga disponível:
O resultado está muito próximo:
é ligeiramente menor que
. Para que
aumente até
precisaríamos um diâmetro um pouco menor. Vamos atualizar
usando a fórmula fechada com
.
Passo 4
Atualizar
pela fórmula fechada
usando
.
- Calcular numerador e denominador:
Logo
Passo 5
Segunda iteração: recalcular
com
e verificar convergência.
- Recalcular
com :
- Termos para Swamee–Jain:
soma
. Assim
praticamente igual a
.
- Recalcular
pela fórmula fechada dará praticamente o mesmo valor . A solução já convergiu numericamente ao diâmetro com boa precisão.
Passo 6
Interpretação e verificação final (como fazer na prova):
-
Mostre na prova a iteração breve: chute inicial
, calcula-se por Swamee–Jain (ou Colebrook por iteração), obtém-se . Se estiver muito diferente de , atualiza-se pela fórmula fechada e repete até convergir. Neste caso a convergência foi imediata: final . -
Observações práticas: use sempre
apropriado (se souber a temperatura, ajuste ); inclua pequenas perdas singulares se houver (curvas, mudanças de seção) somando-as a disponível antes de resolver; se for necessário dar uma bitola comercial, arredonde para um diâmetro comercial imediatamente superior.