Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 \mathrm{~m}, para transportar uma vazão de água de 30 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo, \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}.
\mathrm{D}=0,15 \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • comprimento da adutora: L=850\\ \mathrm{m}.
    • diferença de cotas (carga disponível): \Delta h=17,5\\ \mathrm{m}.
    • vazão requerida: Q=30\\ \mathrm{l/s} = 0,03\\ \mathrm{m^3/s}.
    • rugosidade absoluta do tubo (aço galvanizado novo): \varepsilon=0,15\\ \mathrm{mm} = 0,00015\\ \mathrm{m}.
    • o enunciado sugere/fornece um diâmetro de referência D=0,15\\ \mathrm{m} (vou usar isto como chute inicial e verificar se fecha com os cálculos).
  • O que o problema pede:
    • determinar o diâmetro interno da tubulação que permite transportar a vazão Q por gravidade entre os reservatórios com a diferença de cotas \Delta h.

Passo 2

Modelagem física e fórmulas principais — explicação didática.
  • Para escoamento em conduto cheio por gravidade, a perda de carga por atrito ao longo do comprimento deve consumir a diferença de cotas disponível (aqui desconsideramos perdas singulares). A equação de energia reduz a:
\Delta h = h_f
onde h_f é a perda de carga por atrito dada pela equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Expliquei cada termo:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), que depende de Reynolds e rugosidade relativa.
  • L é comprimento da tubulação (m).
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m) — é a incógnita.
  • V é a velocidade média do fluido (m/s).
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • A velocidade média V relaciona-se com Q por:
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}.
  • O fator de atrito f para regime turbulento em tubulações rugosas é dado implicitamente pela equação de Colebrook. Para agilizar cálculos sem resolver implicitamente, usa-se frequentemente a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação):
f = 0{,}25\Bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\Bigg]^{-2},
onde \mathrm{Re} é o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}.
Observação útil: substituindo V=\dfrac{4Q}{\pi D^2} obtemos uma expressão simples para \mathrm{Re}:
\mathrm{Re}=\frac{4Q}{\pi D \nu},
ou seja, \mathrm{Re} é inversamente proporcional a D quando Q e \nu são dados.
  • Vamos usar a viscosidade cinemática da água à temperatura ambiente como \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Essa é uma boa aproximação para água entre 10–25 °C.
Estratégia de solução (prática para prova): combinar as equações acima para obter uma equação em D. Como f depende de \mathrm{Re} que depende de D, faremos uma iteração: escolhemos um D inicial (aqui 0{,}15\\ \mathrm{m} é um bom chute), calculamos V, \mathrm{Re}, f, e então verificamos se \Delta h = h_f. Se não, usamos a relação fechada abaixo para atualizar D com o f estimado e repetimos até convergir.
Também é útil isolar D a partir de Darcy quando f é conhecido: substituindo V em h_f obtemos
\Delta h = f\,\frac{L}{D}\,\frac{(4Q/(\pi D^2))^2}{2g} = f\,L\,\frac{8Q^2}{\pi^2 g}\,\frac{1}{D^5}.
Rearranjando:
D^5 = \frac{f\,L\,8Q^2}{\pi^2 g\,\Delta h}.
Isso permite calcular um novo D a partir de um f estimado.

Passo 3

Primeira iteração: chute D_0=0{,}15\\ \mathrm{m}. Calcular V, \mathrm{Re}, f (Swamee–Jain) e h_f.
  • Área e velocidade:
A=\frac{\pi D_0^2}{4}=\frac{\pi(0{,}15)^2}{4}\approx0{,}017671\\ \mathrm{m^2}.
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}03}{0{,}017671}\approx1{,}6977\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D_0}{\nu}=\frac{1{,}6977\cdot0{,}15}{1{,}0\times10^{-6}}\approx254648.
(esse valor confirma regime turbulento, pois \mathrm{Re}\gg4000.)
  • Termos da fórmula de Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_0}=\frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot0{,}15}\approx0{,}0002703,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(254648)^{0{,}9}}\approx7{,}80\times10^{-5}.
Soma interna:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_0}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx0{,}0003483.
Aplicando Swamee–Jain:
f_0=0{,}25\Big[\log_{10}(0{,}0003483)\Big]^{-2}\approx0{,}02092.
  • Agora h_f com f_0:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(1{,}6977)^2}{2\cdot9{,}81}\approx0{,}14696\\ \mathrm{m}.
\frac{L}{D_0}=\frac{850}{0{,}15}=5666{,}667.
h_f = f_0\,\frac{L}{D_0}\,\frac{V^2}{2g}\approx0{,}02092\cdot5666{,}667\cdot0{,}14696\approx17{,}40\\ \mathrm{m}.
Comparação com a carga disponível:
h_f\approx17{,}40\\ \mathrm{m}\quad\text{e}\quad\Delta h=17{,}50\\ \mathrm{m}.
O resultado está muito próximo: h_f é ligeiramente menor que \Delta h. Para que h_f aumente até 17{,}50\\ \mathrm{m} precisaríamos um diâmetro um pouco menor. Vamos atualizar D usando a fórmula fechada com f_0.

Passo 4

Atualizar D pela fórmula fechada D^5 = \dfrac{f L 8 Q^2}{\pi^2 g \Delta h} usando f_0.
  • Calcular numerador e denominador:
8Q^2 = 8\cdot(0{,}03)^2 = 8\cdot0{,}0009 = 0{,}0072.
\text{numerador}=f_0\,L\,8Q^2 \approx0{,}02092\cdot850\cdot0{,}0072\approx0{,}127999\approx0{,}1280.
\text{denominador}=\pi^2 g \Delta h \approx(3{,}1416)^2\cdot9{,}81\cdot17{,}5\approx1694{,}63.
D_1^5=\frac{0{,}1280}{1694{,}63}\approx7{,}553\times10^{-5}.
Logo
D_1=(7{,}553\times10^{-5})^{1/5}\approx0{,}1499\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Segunda iteração: recalcular f com D_1 e verificar convergência.
  • Recalcular \mathrm{Re} com D_1=0{,}1499\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Re}_1=\frac{4Q}{\pi D_1 \nu}=\frac{0{,}12}{\pi\cdot0{,}1499\cdot1{,}0\times10^{-6}}\approx254685.
  • Termos para Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_1}\approx\frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot0{,}1499}\approx0{,}0002705,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}}\approx7{,}79\times10^{-5},
soma \approx0{,}0003484. Assim
f_1\approx0{,}02092,
praticamente igual a f_0.
  • Recalcular D_2 pela fórmula fechada dará praticamente o mesmo valor D\approx0{,}1499\\ \mathrm{m}. A solução já convergiu numericamente ao diâmetro 0{,}15\\ \mathrm{m} com boa precisão.

Passo 6

Interpretação e verificação final (como fazer na prova):
  • Mostre na prova a iteração breve: chute inicial 0{,}15\\ \mathrm{m}, calcula-se f por Swamee–Jain (ou Colebrook por iteração), obtém-se h_f. Se h_f estiver muito diferente de \Delta h, atualiza-se D pela fórmula fechada D^5=\dfrac{f L 8 Q^2}{\pi^2 g \Delta h} e repete até convergir. Neste caso a convergência foi imediata: D final \approx0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Observações práticas: use sempre \nu apropriado (se souber a temperatura, ajuste \nu); inclua pequenas perdas singulares se houver (curvas, mudanças de seção) somando-as a \Delta h disponível antes de resolver; se for necessário dar uma bitola comercial, arredonde para um diâmetro comercial imediatamente superior.

Resposta

D \approx 0{,}150\\ \mathrm{m}

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