(1, 0) Uma pessoa no ponto 1,1 deseja caminhar na direção que a temperatura cresce mais rapidamente. Encontre a direção e a expresse como vetor unitário.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde uma pessoa está no ponto 1,1 e quer caminhar na direção onde a temperatura aumenta mais rápido. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele indica a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o gradiente de uma função temperatura T(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior aumento de T. Esse vetor é dado por:
No enunciado, temos a informação (1, 0), que podemos interpretar como o gradiente da temperatura no ponto 1,1. Então, o gradiente é .

Passo 3

Agora, para encontrar a direção que a pessoa deve seguir, queremos um vetor unitário na direção do gradiente. Um vetor unitário tem comprimento igual a 1 e é obtido dividindo o vetor original pelo seu módulo (ou magnitude).

Passo 4

Calculamos o módulo do gradiente:
Como o módulo já é 1, o vetor gradiente já é um vetor unitário.

Resposta

A direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente, expressa como vetor unitário, é .

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