Uma pessoa pretende deslocar-se do ponto A para o ponto B, sobre uma superfície esférica de raio 80 m. Qual a menor distância que esse trajeto pode ser realizado?​

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma pessoa que quer ir do ponto A para o ponto B sobre uma superfície esférica com raio de 80 metros. O que queremos descobrir é qual a menor distância que essa pessoa precisa percorrer para fazer esse trajeto.
Aqui, estamos lidando com geometria esférica, especificamente com o conceito de “círculo máximo” ou “grande círculo”. Vamos precisar saber a fórmula para calcular a distância ao longo de um grande círculo em uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grande círculo. Em uma esfera, um grande círculo é qualquer círculo cuja circunferência é o mesmo que a da esfera. Ou seja, o diâmetro do grande círculo é igual ao diâmetro da esfera. A menor distância entre dois pontos em uma esfera é sempre ao longo de um grande círculo.

Passo 3

A fórmula para calcular a distância ao longo de um grande círculo é:
d = R cdot theta
Onde:
  • $ d $ é a distância que queremos encontrar,
  • $ R $ é o raio da esfera,
  • $ \theta $ é o ângulo central entre os dois pontos, medido em radianos.

Passo 4

No nosso caso, o raio $ R $ é 80 metros. Mas a questão não nos fornece o ângulo $ \theta $ entre os pontos A e B. Porém, para encontrar a menor distância possível, podemos considerar que o ângulo $ \theta $ é o menor possível. O menor ângulo entre dois pontos distintos é quando eles estão próximos, mas como não temos valores específicos, vamos considerar que estamos buscando a fórmula geral.

Passo 5

Sem um valor específico para $ \theta $, a melhor resposta que podemos dar é em termos de $ \theta $. Portanto, a menor distância $ d $ que a pessoa pode percorrer é:
theta

Passo 6

Entretanto, se quisermos uma resposta numérica, precisamos de mais informações sobre a posição dos pontos A e B. Se, por exemplo, os pontos fossem diametralmente opostos (ou seja, $ \theta = \pi $ radianos), a distância máxima seria:
theta = pi
Mas, como estamos procurando a menor distância possível, e sem informações adicionais, assumimos que a distância mínima é quando $ \theta $ é bem pequeno, praticamente aproximando-se de zero metros.

Resposta

A menor distância que a pessoa pode percorrer é dada por $ d = 80 \cdot \theta $ metros, onde $ \theta $ é o ângulo central entre os pontos A e B em radianos. Se os pontos forem diametralmente opostos, a distância será aproximadamente $ 80\pi $ metros.

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