As raizes da equação 3x² + 7x − 18 = 0 são α e β. O valor da expressão α2β + αβ2 − α − β é:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação quadrática 3x^2 + 7x - 18 = 0 com raízes alpha e beta. Precisamos encontrar o valor da expressão $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha - \beta $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das raízes de uma equação quadrática, conhecidas como fórmulas de Viète.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a soma das raízes $ \alpha + \beta $ e o produto das raízes $ \alpha\beta $ usando as fórmulas de Viète. Para uma equação da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $:
alpha + beta
alphabeta
Aplicando isso à nossa equação $ 3x^2 + 7x - 18 = 0 $:
ax^2 + bx + c = 0
alpha + beta = -ba

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão que precisamos encontrar: $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha - \beta $. Podemos fatorar os termos $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 $:
alpha^2beta + alphabeta^2 - alpha - beta
Então, a expressão fica:
alpha^2beta + alphabeta^2

Passo 4

Substituindo os valores de $ \alpha + \beta $ e $ \alpha\beta $ que encontramos:
alpha + beta

Resposta

O valor da expressão $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha - \beta $ é $ \frac{49}{3} $.

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