As raizes da equação 3x² + 7x − 18 = 0 são α e β. O valor da expressão α2β + αβ2 − α − β é:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação quadrática
com raízes
e
. Precisamos encontrar o valor da expressão $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha - \beta $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das raízes de uma equação quadrática, conhecidas como fórmulas de Viète.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a soma das raízes $ \alpha + \beta $ e o produto das raízes $ \alpha\beta $ usando as fórmulas de Viète. Para uma equação da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $:
Aplicando isso à nossa equação $ 3x^2 + 7x - 18 = 0 $:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão que precisamos encontrar: $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha - \beta $. Podemos fatorar os termos $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 $:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Substituindo os valores de $ \alpha + \beta $ e $ \alpha\beta $ que encontramos:
Resposta
O valor da expressão $ \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha - \beta $ é $ \frac{49}{3} $.