Calcule o ângulo entre os planos π1 : − y + 1 = 0 e π2 : y + z + 2 = 0.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de Geometria Analítica aqui. A missão é calcular o ângulo entre dois planos, que são dados pelas equações $ \pi_1: -y + 1 = 0 $ e $ \pi_2: y + z + 2 = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores normais desses planos e então usar a fórmula do ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação geral de um plano é $ Ax + By + Cz + D = 0 $, onde o vetor normal é $ \mathbf{n} = (A, B, C) $.
Para $ \pi_1: -y + 1 = 0 $, podemos reescrever como $ 0x - y + 0z + 1 = 0 $. Então, o vetor normal é $ \mathbf{n}_1 = (0, -1, 0) $.
Para $ \pi_2: y + z + 2 = 0 $, o vetor normal é $ \mathbf{n}_2 = (0, 1, 1) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores normais. O produto escalar é dado por:
Passo 4
Em seguida, precisamos das magnitudes (ou normas) dos vetores normais. A magnitude de um vetor $ \mathbf{n} = (A, B, C) $ é:
Para $ \mathbf{n}_1 = (0, -1, 0) $:
Para $ \mathbf{n}_2 = (0, 1, 1) $:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do ângulo $ \theta $ entre dois vetores:
Substituindo os valores que encontramos:
Para achar o ângulo, tiramos o arco cosseno:
Mas, geralmente consideramos o ângulo agudo entre os planos, então vamos usar o complemento:
Resposta
O ângulo entre os planos $ \pi_1 $ e $ \pi_2 $ é de $ 45^\circ $.