(3,4 pontos) Um bloco de madeira tem massa 4,68 \mathrm{~kg} e uma massa especifica de 556 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Devemos colocar uma massa de chumbo sobre o bloco para que ele flutue, paralelamente ao nivel da água, totalmente submerso. Que massa de chumbo é necessária, supondo que o chumbo fique totalmente fora da água? Sabemos que as densidades da água e do chumbo valem \rho_{\mathrm{A}}=1,00.10^{7} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \rho_{\mathrm{C}}=1,14.10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever cada número/expression em TeX como pedido):
  • massa do bloco de madeira: m_{\mathrm{b}} = 4{,}68\\ \mathrm{kg};
  • massa específica (densidade) da madeira: \rho_{\mathrm{b}} = 556\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3};
  • densidade da água informada no enunciado: \rho_{\mathrm{A}} = 1{,}00\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3};
  • densidade do chumbo informada no enunciado: \rho_{\mathrm{C}} = 1{,}14\cdot10^{4}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Observação importante (possível erro no enunciado): o valor dado para \rho_{\mathrm{A}} parece incorreto para água (tipicamente \sim 1{,}00\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}). Vou assumir que o autor quis escrever \rho_{\mathrm{A}} = 1{,}00\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (densidade normal da água). Aviso isso porque, se usássemos 1{,}00\cdot10^{7}, o resultado seria absurdamente grande; portanto seguirei a densidade usual da água.
Observação adicional: o enunciado diz que o chumbo ficará totalmente fora da água, logo a densidade do chumbo \rho_{\mathrm{C}} não entra nos cálculos do equilíbrio de flutuabilidade (apenas a massa de chumbo importa).
O que o problema pede:
  • determinar a massa de chumbo m_{\mathrm{C}} que devemos colocar sobre o bloco de madeira para que o conjunto (bloco + chumbo) flutue com o bloco totalmente submerso e o chumbo fora da água.

Passo 2

Conceito físico essencial (Archimedes) — explicação didática:
  • A força de empuxo (ou força de flutuamento) sobre um corpo imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo. Em fórmula:
F_{\mathrm{emp}} = \rho_{\mathrm{A}} \, V_{\mathrm{sub}} \, g,
onde:
  • \rho_{\mathrm{A}} é a densidade da água (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • V_{\mathrm{sub}} é o volume do corpo que está submerso (em \mathrm{m}^{3}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).
  • Para o corpo flutuar em equilíbrio vertical, o empuxo deve igualar o peso total do sistema (massa do bloco mais massa do chumbo) multiplicado por g:
F_{\mathrm{emp}} = (m_{\mathrm{b}} + m_{\mathrm{C}})\, g.
  • Como g aparece em ambos os lados da igualdade, ele se cancela, o que simplifica muito o cálculo. Assim obtemos a condição:
\rho_{\mathrm{A}} \, V_{\mathrm{sub}} = m_{\mathrm{b}} + m_{\mathrm{C}}.
No nosso caso o enunciado exige que o bloco fique totalmente submerso; portanto V_{\mathrm{sub}} = V_{\mathrm{b}}, o volume total do bloco.

Passo 3

Calcular o volume do bloco de madeira:
a definição de densidade é \rho = \dfrac{m}{V}. Isolando o volume:
V_{\mathrm{b}} = \dfrac{m_{\mathrm{b}}}{\rho_{\mathrm{b}}}.
Substituindo os valores (todos em TeX):
V_{\mathrm{b}} = \dfrac{4{,}68}{556}\\ \mathrm{m}^{3}.
Agora calculamos a divisão com cuidado para conseguir um número que dê para usar na prova sem calculadora (faça a conta com aproximação razoável):
V_{\mathrm{b}} \approx 0{,}008417\\ \mathrm{m}^{3}.
(Explicação breve de como obter: 556\times0{,}0084=4{,}6704, sobra 0{,}0096 e continuando a divisão chega em 0{,}008417\ldots.)

Passo 4

Escrever a condição de equilíbrio com V_{\mathrm{b}}:
\rho_{\mathrm{A}}\, V_{\mathrm{b}} = m_{\mathrm{b}} + m_{\mathrm{C}}.
Isolando m_{\mathrm{C}}:
m_{\mathrm{C}} = \rho_{\mathrm{A}}\, V_{\mathrm{b}} - m_{\mathrm{b}}.
Substituindo \rho_{\mathrm{A}} = 1{,}00\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, V_{\mathrm{b}} e m_{\mathrm{b}}:
m_{\mathrm{C}} = (1{,}00\cdot10^{3})\cdot(0{,}008417) - 4{,}68.
Calcule passo a passo:
(1{,}00\cdot10^{3})\cdot(0{,}008417) = 8{,}417\\ \mathrm{kg}.
Então
m_{\mathrm{C}} = 8{,}417 - 4{,}68 = 3{,}737\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Arredondamento e interpretação:
  • Para reporte em duas casas decimais (prática comum em exercícios de laboratório/prova), m_{\mathrm{C}} \approx 3{,}74\\ \mathrm{kg}.
  • Observação de consistência: m_{\mathrm{C}}>0, então é plausível; e o valor da densidade do chumbo fornecido no enunciado não foi necessário porque o chumbo permanece fora da água.

Resposta

m_{\mathrm{C}} \approx 3{,}74\\ \mathrm{kg}

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