Em um experimento de dupla fenda, as fendas estão separadas por uma distância d=16 \lambda, e cada fenda possui largura a=4 \lambda. A distância entre as fendas e o anteparo é R .
(a) Determine a distância entre dois mínimos consecutivos de difração no anteparo, próximos ao máximo central, ou seja, utilizando a aproximação de pequenos ângulos.
(b) Qual é o número máximo de máximos de interferência que podem ser observados no anteparo?
(c) Calcule a razão entre a intensidade do primeiro máximo de interferência (m=1) e a intensidade do máximo central.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado):
  • Distância entre as fendas: d=16\lambda.
  • Largura de cada fenda: a=4\lambda.
  • Distância fendas → anteparo: R (não numérica, fica como parâmetro).
    O enunciado pede:
    (a) a distância entre dois mínimos consecutivos de difração no anteparo, próximos ao máximo central (usar aproximação de pequenos ângulos);
    (b) o número máximo de máximos de interferência observáveis no anteparo;
    (c) a razão entre a intensidade do primeiro máximo de interferência (m=1) e a intensidade do máximo central.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem cada termo):
  • Difração de uma fenda única: os mínimos de difração ocorrem para
a\sin\theta_n = n\lambda,
onde n é inteiro não nulo ( n=\pm1,\pm2,\dots), a é a largura da fenda, \lambda o comprimento de onda e \theta_n o ângulo medido a partir da normal. Essa fórmula vem da condição de cancelamento entre ondas emitidas por partes diferentes da mesma fenda.
  • Em tela a distância vertical y_n do ponto central até esse mínimo satisfaz, para pequenos ângulos,
\sin\theta_n\approx\theta_n\approx\frac{y_n}{R},
pois \tan\theta\approx\sin\theta e \tan\theta=y/R quando \theta é pequeno.
  • Interferência entre as duas fendas (cada fenda com mesma amplitude): os máximos de interferência ocorrem quando
d\sin\theta_m = m\lambda,
com m=0,\pm1,\pm2,\dots. Aqui d é a separação entre fendas e m é a ordem do máximo.
  • Intensidade combinada (difração + interferência) para duas fendas idênticas é dada por
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\cos^2\alpha,
onde \beta=\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} descreve a envoltória de difração da fenda única e \alpha=\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda} descreve a interferência entre as fendas. I_0 é a intensidade máxima central (em \theta=0). Essa fórmula deriva da soma vetorial das amplitudes e do padrão de fraunhofer.

Passo 3

Queremos a distância entre dois mínimos consecutivos de difração próximos ao máximo central. Usamos a condição de mínimos da fenda única e a aproximação de pequenos ângulos.
  • Da condição de mínimos:
a\sin\theta_n = n\lambda.
  • Para pequenos ângulos \sin\theta_n\approx y_n/R, logo
y_n = R\frac{n\lambda}{a}.
  • A distância entre mínimos consecutivos n e n+1 é
\Delta y = y_{n+1}-y_n = R\frac{(n+1)\lambda}{a}-R\frac{n\lambda}{a}=R\frac{\lambda}{a}.
  • Substituindo a=4\lambda:
\Delta y = R\frac{\lambda}{4\lambda}=\frac{R}{4}.
Portanto, sob a aproximação de pequenos ângulos, a separação entre mínimos consecutivos perto do centro é \dfrac{R}{4}.

Passo 4

Queremos contar quantos máximos de interferência (as franjas finas) caem dentro do envelope de difração central (entre os dois primeiros mínimos de difração ao redor do máximo central).
  • A primeira mínima de difração (lado positivo) ocorre para n=1 em \sin\theta_{\text{dif}}=\dfrac{\lambda}{a}. Portanto o envelope central vai de \theta=-\theta_{\text{dif}} até \theta=+\theta_{\text{dif}}.
  • Um máximo de interferência de ordem m está em \sin\theta_m=\dfrac{m\lambda}{d}. Para que um máximo esteja dentro do envelope central precisamos ter
\left|\frac{m\lambda}{d}\right| < \frac{\lambda}{a},
pois se for igualdade o máximo coincide com um mínimo de difração e desaparece.
  • Cancelando \lambda obtemos a condição em m:
|m| < \frac{d}{a}.
  • Agora substituímos os valores dados: \dfrac{d}{a}=\dfrac{16\lambda}{4\lambda}=4. Assim a condição é |m|<4.
  • Os inteiros m que satisfazem isso são m=-3,-2,-1,0,1,2,3. Note que m=\pm4 não são observáveis porque coincidem com os mínimos de difração (intensidade zero).
  • O número total de máximos observáveis dentro do envelope central é, portanto, 7 (os sete valores listados).

Passo 5

Queremos \dfrac{I_{m=1}}{I_{0}}.
  • Pelo formulário combinado, a intensidade de um máximo de interferência de ordem m (assumindo que \cos^2\alpha=1 em um máximo de interferência) é
I_m = I_0\left(\frac{\sin\beta_m}{\beta_m}\right)^2,
com \beta_m=\dfrac{\pi a\sin\theta_m}{\lambda}.
  • Para m=1, \sin\theta_1=\dfrac{\lambda}{d}. Então
\beta_1=\frac{\pi a}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{d}=\frac{\pi a}{d}.
  • Logo a razão pedida é
\frac{I_{1}}{I_{0}}=\left(\frac{\sin\beta_1}{\beta_1}\right)^2=\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{\pi a}{d}\right)}{\dfrac{\pi a}{d}}\right)^2.
  • Substituindo a/d=\dfrac{4\lambda}{16\lambda}=\dfrac{1}{4} \beta_1=\dfrac{\pi}{4}. Assim
\frac{I_{1}}{I_{0}}=\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{\dfrac{\pi}{4}}\right)^2.
  • Calculando \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\frac{I_{1}}{I_{0}}=\left(\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\pi}{4}}\right)^2=\left(\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\right)^2=\frac{8}{\pi^2}.
  • Em valor numérico,
\frac{I_{1}}{I_{0}}=\frac{8}{\pi^2}\approx 0,8106.

Resposta

(a) \dfrac{R}{4}
(b) 7
(c) \dfrac{I_{1}}{I_{0}}=\dfrac{8}{\pi^{2}}\approx 0,8106

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