O preço a vista de uma mansão numa avenida da cidade de São Paulo é de \mathrm{R} \ 500.000,00 . O vendedor facilita a transação propondo o seguinte esquema:çã\mathrm{R} $100.000,00 como entrada, duas parcelas semestrais de\mathrm{R} $ 200.000,00 e um pagamento final de\mathrm{R} $157.010,59 . Se a taxa contratada for de3 % a.m., quando será o último pagamento? R.: A um ano e meio da entrada (áú\mathrm{n}=18$ meses).

Passo 1

O enunciado dá o preço à vista da casa e um plano de pagamentos; pede para descobrir quando ocorre o último pagamento. Informações e perguntas do enunciado:
  • Preço à vista: \mathrm{R}\$\,500{.}000{,}00.
  • Entrada imediata: \mathrm{R}\$\,100{.}000{,}00 (no instante inicial, que chamamos de t=0).
  • Duas parcelas semestrais de \mathrm{R}\$\,200{.}000{,}00 cada — isto significa uma parcela após 6 meses e outra após 12 meses.
  • Pagamento final: \mathrm{R}\$\,157{.}010{,}59 a ocorrer em um tempo desconhecido n meses após a entrada.
  • Taxa contratada: 3\% ao mês, ou seja i=0{,}03 por mês.
  • Pergunta: encontrar n (em meses), ou seja, quando será o último pagamento.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): valor presente (PV) — a ideia é trazer todos os pagamentos ao instante t=0 usando a taxa de juros mensal i. O fator de desconto para um pagamento que ocorre em t meses é (1+i)^{-t}. Assim, o valor presente de um pagamento de quantia A que ocorre em t meses é
\text{PV} = A\cdot(1+i)^{-t}.
Aqui A é o valor do pagamento, i é a taxa mensal =0{,}03 e t é o número de meses até o pagamento. No problema, a soma dos valores presentes de todos os pagamentos deve ser igual ao preço à vista \mathrm{R}\$\,500{.}000{,}00, porque o vendedor está aceitando esse fluxo como equivalente ao pagamento à vista.

Passo 3

Escrevemos a equação do valor presente somando cada parcela descontada ao instante 0. Chamando n o número de meses até o pagamento final, temos:
100000 + 200000\cdot(1{,}03)^{-6} + 200000\cdot(1{,}03)^{-12} + 157010{,}59\cdot(1{,}03)^{-n} = 500000.
Nessa equação:
  • o termo 100000 é a entrada em t=0 (já no presente),
  • 200000\cdot(1{,}03)^{-6} é a parcela semestral em 6 meses,
  • 200000\cdot(1{,}03)^{-12} é a parcela em 12 meses,
  • 157010{,}59\cdot(1{,}03)^{-n} é o pagamento final trazido a t=0.

Passo 4

Vamos calcular os fatores de desconto conhecidos. Primeiro calculamos as potências de (1{,}03):
(1{,}03)^{6}=1{,}194052296529\quad\text{(aprox.)}
(1{,}03)^{12}=\big((1{,}03)^{6}\big)^2=1{,}425760886\quad\text{(aprox.)}
Portanto os fatores de desconto são
(1{,}03)^{-6}\approx 0{,}837484224,\qquad (1{,}03)^{-12}\approx 0{,}701379880.

Passo 5

Calculamos os valores presentes das parcelas já conhecidas:
200000\cdot(1{,}03)^{-6}\approx 200000\cdot0{,}837484224 \approx 167\,496{,}8448,
200000\cdot(1{,}03)^{-12}\approx 200000\cdot0{,}701379880 \approx 140\,275{,}9760.
Somando com a entrada:
\text{PV das partes conhecidas} \approx 100000 + 167\,496{,}8448 + 140\,275{,}9760 \approx 407\,772{,}8208.

Passo 6

A parte do valor presente que falta ser explicada pelo pagamento final é
500000 - 407\,772{,}8208 \approx 92\,227{,}1792.
Logo o valor presente do pagamento final deve ser aproximadamente \mathrm{R}\$\,92\,227{,}1792. Assim
157010{,}59\cdot(1{,}03)^{-n} \approx 92\,227{,}1792.
Isolando o fator de desconto:
(1{,}03)^{-n} \approx \dfrac{92\,227{,}1792}{157010{,}59}\approx 0{,}587498\;.

Passo 7

Para encontrar n usamos logaritmos. A partir de (1{,}03)^{-n}=r (com r\approx0{,}587498) temos
(1{,}03)^{n} = \dfrac{1}{r}\quad\Rightarrow\quad n=\dfrac{\ln(1/r)}{\ln(1{,}03)} = -\dfrac{\ln(r)}{\ln(1{,}03)}.
Substituindo r\approx0{,}587498 e \ln(1{,}03)\approx0{,}0295588,
n \approx -\dfrac{\ln(0{,}587498)}{0{,}0295588}\approx \dfrac{0{,}5320584}{0{,}0295588}\approx 18{,}00\\ \text{meses}.

Passo 8

Interpretação: n\approx 18 meses significa que o pagamento final ocorre 18 meses após a entrada, ou seja, a um ano e meio da entrada. Isso faz sentido também porque as duas parcelas semestrais foram em 6 e 12 meses; é natural que o pagamento final tenha sido projetado para 18 meses (mais 6 meses após a segunda parcela), e os números fornecidos foram escolhidos para que, ao descontar tudo a 3\% ao mês, o PV total dê exatamente \mathrm{R}\$\,500{.}000{,}00.

Resposta

A um ano e meio da entrada ( n=18 meses).

Exercícios relacionados