O preço a vista de uma mansão numa avenida da cidade de São Paulo é de
500.000,00
\mathrm{R} $100.000,00
\mathrm{R} $ 200.000,00
\mathrm{R} $157.010,59
3 %
\mathrm{n}=18$ meses).
Passo 1
O enunciado dá o preço à vista da casa e um plano de pagamentos; pede para descobrir quando ocorre o último pagamento. Informações e perguntas do enunciado:
- Preço à vista:
. - Entrada imediata:
(no instante inicial, que chamamos de ). - Duas parcelas semestrais de
cada — isto significa uma parcela após 6 meses e outra após 12 meses. - Pagamento final:
a ocorrer em um tempo desconhecido meses após a entrada. - Taxa contratada:
ao mês, ou seja por mês. - Pergunta: encontrar
(em meses), ou seja, quando será o último pagamento.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): valor presente (PV) — a ideia é trazer todos os pagamentos ao instante
usando a taxa de juros mensal
. O fator de desconto para um pagamento que ocorre em
meses é
. Assim, o valor presente de um pagamento de quantia
que ocorre em
meses é
Aqui
é o valor do pagamento,
é a taxa mensal
e
é o número de meses até o pagamento. No problema, a soma dos valores presentes de todos os pagamentos deve ser igual ao preço à vista
, porque o vendedor está aceitando esse fluxo como equivalente ao pagamento à vista.
Passo 3
Escrevemos a equação do valor presente somando cada parcela descontada ao instante 0. Chamando
o número de meses até o pagamento final, temos:
Nessa equação:
- o termo
é a entrada em (já no presente), -
é a parcela semestral em 6 meses, -
é a parcela em 12 meses, -
é o pagamento final trazido a .
Passo 4
Vamos calcular os fatores de desconto conhecidos. Primeiro calculamos as potências de
:
Portanto os fatores de desconto são
Passo 5
Calculamos os valores presentes das parcelas já conhecidas:
Somando com a entrada:
Passo 6
A parte do valor presente que falta ser explicada pelo pagamento final é
Logo o valor presente do pagamento final deve ser aproximadamente
. Assim
Isolando o fator de desconto:
Passo 7
Para encontrar
usamos logaritmos. A partir de
(com
) temos
Substituindo
e
,
Passo 8
Interpretação:
meses significa que o pagamento final ocorre 18 meses após a entrada, ou seja, a um ano e meio da entrada. Isso faz sentido também porque as duas parcelas semestrais foram em 6 e 12 meses; é natural que o pagamento final tenha sido projetado para 18 meses (mais 6 meses após a segunda parcela), e os números fornecidos foram escolhidos para que, ao descontar tudo a
ao mês, o PV total dê exatamente
.
Resposta
A um ano e meio da entrada (
meses).