Pessoas entram em um cassino a uma taxa de 1 a cada 2 minutos.
Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 pessoas entrem no cassino durante esse tempo?

Passo 1

O enunciado descreve um processo de chegadas de pessoas a um cassino que ocorre a uma taxa média de uma pessoa a cada 2 minutos. Queremos a probabilidade de que, em um intervalo de t=2 minutos, entrem pelo menos 4 pessoas. O conteúdo é distribuição de Poisson.

Passo 2

Em um processo de Poisson, o número de chegadas X em um intervalo de tempo de comprimento t obedece a
X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t),
onde \lambda é a taxa média de chegadas por unidade de tempo. Aqui \lambda = \tfrac{1}{2} pessoa por minuto e t = 2 minutos, logo
\lambda t = \frac{1}{2}\times 2 = 1.

Passo 3

Queremos
P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3).

Passo 4

Calculamos
P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} P(X = k) = \sum_{k=0}^{3} e^{-1}\,\frac{1^{k}}{k!} = e^{-1}\Bigl(1 + 1 + \tfrac12 + \tfrac16\Bigr).

Passo 5

Somando os termos:
1 + 1 + \tfrac12 + \tfrac16 = \tfrac{8}{3},
então
P(X \le 3) = e^{-1}\,\frac{8}{3}.
Logo
P(X \ge 4) = 1 - e^{-1}\,\frac{8}{3}.
Numericamente, com e^{-1}\approx0{,}3679, isso dá
P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}3679\cdot2{,}6667 \approx 0{,}0183.

Resposta

P(\text{pelo menos 4 pessoas em 2 min}) = 1 - e^{-1}\,\tfrac{8}{3} \approx 0{,}0183.

Exercícios relacionados