Dado o problema de valor inicial:
f^{\prime \prime}(x)=3 \sqrt{x}, f^{\prime}(1)=-1 e f(0)=32
Encontre a sua solução e determine f(2) :

Passo 1

O problema é um valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem, dado por f''(x)=3\sqrt{x} com as condições f'(1)=-1 e f(0)=32. Para resolver, vamos integrar duas vezes: primeiro obter f'(x), usando a condição em x=1 para achar a constante de integração; depois integrar de novo para obter f(x), usando f(0)=32.

Passo 2

Para obter f'(x), integramos f''(x)=3x^{1/2}:
f'(x)=\int 3x^{1/2}\,dx =3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}+C_{1} =2x^{3/2}+C_{1}.
Agora impomos f'(1)=-1:
-1 = 2\cdot1^{3/2}+C_{1} =2 + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-3.
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f'(x)=2x^{3/2}-3.

Passo 3

Integramos f'(x) para obter f(x):
f(x)=\int\bigl(2x^{3/2}-3\bigr)\,dx =2\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}-3x+C_{2} =\frac{4}{5}x^{5/2}-3x+C_{2}.
Usando f(0)=32:
32 = f(0) = \frac{4}{5}\cdot0^{5/2}-3\cdot0 + C_{2} = C_{2},
então C_{2}=32. Assim
f(x)=\frac{4}{5}x^{5/2}-3x+32.

Passo 4

Para calcular f(2), substituímos x=2:
f(2) =\frac{4}{5}\cdot2^{5/2}-3\cdot2+32.
Como 2^{5/2}=4\sqrt{2}, resulta
f(2) =\frac{4}{5}\cdot4\sqrt{2}-6+32 =\frac{16\sqrt{2}}{5}+26.

Resposta

A solução do PVI é
f(x)=\frac{4}{5}x^{5/2}-3x+32,
e
f(2)=\frac{16\sqrt{2}}{5}+26.

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