Questão 16.

O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos), tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente. que esteja sofrendo dor, recebe remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
(a) Demorar pelo menos 12 minutos.
(b) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 ?

Passo 1

O enunciado diz que a variável aleatória X (tempo até o remédio fazer efeito) é Uniforme no intervalo [5,15]. O que queremos é
(a) \Pr(X\ge 12)
(b) \Pr(X>7 \mid X<10)

Passo 2

Para X\sim\mathrm{Uniforme}(5,15) a densidade é
f_X(x)=\frac{1}{15-5}=\frac{1}{10}\quad\text{para }5\le x\le15
e a função de distribuição acumulada é
F_X(x)=\Pr(X\le x)=\frac{x-5}{10}\quad\text{para }5\le x\le15.
Logo, para qualquer a em [5,15],
\Pr(X\ge a)=1-\Pr(X<a)=1-F_X(a)=1-\frac{a-5}{10}=\frac{15-a}{10}.

Passo 3

Aplicando isso em a=12, temos
\Pr(X\ge12)=\frac{15-12}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 4

Para a parte (b) usamos a definição de probabilidade condicional:
\Pr(X>7 \mid X<10) =\frac{\Pr(7< X <10)}{\Pr(X<10)}.
Como X é contínua, \Pr(X<10)=F_X(10)=\tfrac{10-5}{10}=\tfrac{5}{10} e
\Pr(7< X <10)=F_X(10)-F_X(7) =\frac{10-5}{10}-\frac{7-5}{10} =\frac{5}{10}-\frac{2}{10} =\frac{3}{10}.

Passo 5

Logo
\Pr(X>7 \mid X<10) =\frac{\tfrac{3}{10}}{\tfrac{5}{10}} =\frac{3}{5}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3}{10}.
(b) \displaystyle \frac{3}{5}.

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