(Petrobrás-2008) As raízes do denominador de uma função transferência, que é a equação característica, são utilizadas para verificar a estabilidade do processo industrial. As raízes têm a seguinte forma
bi, em que a é a parte real, b é a parte imaginária. Acerca das raízes dessa equação, é correto afirmar que:
(a) se a>0, então, o sistema é instável.
(b) se
, então, o sistema é instável.
(c) a
e b
, então, o sistema é estável.
(d) se b>0 então o sistema é estável.
(e) se b<0 então o sistema é instável.
(a) se a>0, então, o sistema é instável.
(b) se
(c) a
(d) se b>0 então o sistema é estável.
(e) se b<0 então o sistema é instável.
Passo 1
O enunciado diz que as raízes da equação característica são da forma
, e pergunta qual condição sobre
e
garante (in)stabilidade do sistema. O conteúdo é estabilidade de sistemas contínuos LTI, que depende da posição dos polos no plano complexo.
Passo 2
A teoria diz que um sistema contínuo é estável se e somente se todas as raízes (polos) tiverem parte real negativa. Em outras palavras:
garante estabilidade. Se
, o polo fica no semiplano direito e o sistema é instável. A parte imaginária
apenas afeta a oscilação, mas não a estabilidade em si.
Passo 3
Analisando a alternativa (a): “se
, então o sistema é instável.”
Como vimos, parte real positiva implica polo no semiplano direito e sistema instável.
Portanto, (a) é correta.
Como vimos, parte real positiva implica polo no semiplano direito e sistema instável.
Portanto, (a) é correta.
Passo 4
Analisando (b): “se
, então o sistema é instável.”
Se , o sistema é estável, então nem toda
leva à instabilidade. Logo, (b) é falsa.
Analisando (c): “ e
, então o sistema é estável.”
Apesar de , temos
que torna o sistema instável, então (c) é falsa.
Se
Analisando (c): “
Apesar de
Passo 5
Analisando (d): “se
então o sistema é estável.”
A parte imaginária positiva não garante , logo é irrelevante para estabilidade. (d) é falsa.
Analisando (e): “se então o sistema é instável.”
Mesma razão: não determina estabilidade. (e) é falsa.
A parte imaginária positiva não garante
Analisando (e): “se
Mesma razão:
Resposta
(a) se
, então, o sistema é instável.