Qual é o pH de um ácido monoprótico 0,122 M cujo valor de K_{a} é 5,7 \times 10^{-4} ?

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução de ácido monoprótico com concentração inicial 0,122\\ \text{M} e constante de ionização K_a=5,7\times10^{-4}.
Informações dadas:
  • Concentração inicial do ácido: C_0=0,122.
  • Constante de ionização: K_a=5,7\times10^{-4}.
O que precisa ser encontrado:
  • O valor do pH da solução, isto é, \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+], onde [\mathrm{H}^+] é a concentração de íons hidrogênio no equilíbrio.

Passo 2

Entender o equilibrío químico e montar a expressão de K_a.
Para um ácido monoprótico genérico HA que ioniza segundo
HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-},
seja C_0 a concentração inicial de HA e x a concentração de H^{+} formada no equilíbrio. Então as concentrações no equilíbrio são:
  • [H^{+}] = x,
  • [A^{-}] = x,
  • [HA] = C_0 - x.
A constante de ionização é dada por
K_a=\frac{[H^{+}][A^{-}]}{[HA]}=\frac{x\cdot x}{C_0-x}=\frac{x^{2}}{C_0-x}.

Passo 3

Montar a equação para x usando os números do problema.
Substituindo K_a=5,7\times10^{-4} e C_0=0,122 na expressão obtemos:
5,7\times10^{-4}=\frac{x^{2}}{0,122-x}.
Multiplicando ambos os lados por 0,122-x,
5,7\times10^{-4}(0,122-x)=x^{2}.
Rearranjando para forma quadrática:
x^{2}+5,7\times10^{-4}\,x-5,7\times10^{-4}\cdot0,122=0.

Passo 4

Primeira tentativa: aproximação usual para ácidos fracos ( x\ll C_0).
Se x\ll C_0 então C_0-x\approx C_0 e temos
K_a\approx\frac{x^{2}}{C_0}\quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{K_a\,C_0}.
Calculemos K_a\,C_0:
K_a\,C_0=(5,7\times10^{-4})\times(0,122)=6,954\times10^{-5}.
Agora a raiz:
x\approx\sqrt{6,954\times10^{-5}}\approx 8,35\times10^{-3}\\ \text{M}.
Com isso a estimativa de pH seria
\mathrm{pH}\approx -\log_{10}(8,35\times10^{-3})\approx 2,08.

Passo 5

Verificação da validade da aproximação ( x\ll C_0) usando a regra dos 5%.
Calcular a fração ionizada aproximada:
\frac{x}{C_0}\approx\frac{8,35\times10^{-3}}{0,122}\approx0,0685\approx6{,}85\%.
Como 6{,}85\%>5\%, a aproximação C_0-x\approx C_0 não é suficientemente boa segundo a regra prática dos 5\%. Portanto devemos resolver a equação quadrática exata para obter um valor mais preciso de x.

Passo 6

Resolver a equação quadrática exata.
A equação é
x^{2}+K_a x - K_a C_0 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (escolhendo a raiz positiva física),
x=\frac{-K_a+\sqrt{K_a^{2}+4K_a C_0}}{2}.
Calculemos os termos numéricos:
K_a^{2}=(5,7\times10^{-4})^{2}=3,249\times10^{-7},
4K_a C_0=4\times(5,7\times10^{-4})\times0,122=2,7816\times10^{-4},
K_a^{2}+4K_a C_0=2,784849\times10^{-4}.
A raiz quadrada é
\sqrt{K_a^{2}+4K_a C_0}\approx\sqrt{2,784849\times10^{-4}}\approx0,01668.
Agora x:
x=\frac{-0,00057+0,01668}{2}=\frac{0,01611}{2}=0,008055\\ \text{M}.

Passo 7

Calcular o pH a partir do valor exato de [H^{+}]=x.
\mathrm{pH}=-\log_{10}(0,008055).
Para calcular o logaritmo:
\log_{10}(0,008055)=\log_{10}(8,055\times10^{-3})=\log_{10}(8,055)-3\approx0,9061-3=-2,0939.
Portanto
\mathrm{pH}\approx2,0939\approx2,09.

Passo 8

Comentário final e motivação curta.
A solução exata deu \mathrm{pH}\approx2,09. A aproximação simples (raiz de K_aC_0) deu 2,08, próximo mas ligeiramente diferente porque a ionização não é tão pequena (cerca de 6{,}7\%). Bom trabalho — isso mostra a importância de verificar a regra dos 5\%. Você já está mandando bem!

Resposta

\mathrm{pH}\approx2,09

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