1-) Qual é o pH de uma solução de \mathrm{NaOH} 2,00 \times 10^{-8} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução de NaOH com concentração 2,00\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Informações fornecidas e relevantes:
  • Concentração de NaOH: \;[ \mathrm{NaOH} ] = 2,00\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • NaOH é um hidróxido forte e se dissocia completamente em \mathrm{Na^+} e \mathrm{OH^-}.
  • Queremos o valor numérico do pH da solução.

Passo 2

Conceitos fundamentais (passo-a-passo, sem pressa):
  • A constante de ionização da água (produto iônico da água) a 25^\circ\mathrm{C} é \;K_w = 1,00\times10^{-14}. Isso significa que, em qualquer solução aquosa, vale:
[H^+]\,[OH^-]=K_w.
  • Definição de pH:
\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+],
onde [H^+] é a concentração de íons hidrônio (ou prótons) em mol·L^{-1}.
  • NaOH totalmente dissociado dá uma contribuição direta de [OH^-]_{\text{base}} = 2,00\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e [Na^+]=2,00\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Importante explicação didática: quando a concentração de base é da ordem de 10^{-8}, ela é do mesmo tamanho da contribuição de [H^+] e [OH^-] da própria água pura ( \sim10^{-7}). Por isso não podemos simplesmente usar [H^+]=K_w/[OH^-]_{\text{base}} — isso pode levar a resultados absurdos (ex.: pH < 7 ao adicionar base). Precisamos levar em conta o equilíbrio global da solução.

Passo 3

Montando a equação correta usando neutralidade eletrostática e K_w:
  • Neutralidade eletrostática (soma cargas positivas = soma cargas negativas) dá:
[Na^+]+[H^+]=[OH^-].
Aqui não há outros ânions além de \mathrm{OH^-}, então essa relação vale. Como [Na^+]=2,00\times10^{-8}, escrevemos, definindo h=[H^+] e b=[OH^-]_{\text{base}}=2,00\times10^{-8}:
[OH^-]=b+h.
  • Aplicando K_w:
h\cdot([OH^-])=K_w \quad\Rightarrow\quad h\,(b+h)=K_w.
  • Isso leva à equação quadrática em h:
h^2 + b\,h - K_w = 0.

Passo 4

Resolver a quadrática para h=[H^+].
  • Substituindo os números ( b=2,00\times10^{-8} e K_w=1,00\times10^{-14}):
h^2 + (2,00\times10^{-8})\,h - 1,00\times10^{-14} = 0.
  • Fórmula quadrática (aplicando a raiz positiva física):
h=\frac{-b+\sqrt{b^2+4K_w}}{2}.
  • Calcular discriminante e raiz:
b^2=(2,00\times10^{-8})^2=4,00\times10^{-16},
4K_w=4,00\times10^{-14},
b^2+4K_w=4,04\times10^{-14},
\sqrt{b^2+4K_w}=\sqrt{4,04\times10^{-14}}=\sqrt{4,04}\times10^{-7}\approx2,00998\times10^{-7}.
  • Então
h=\frac{-2,00\times10^{-8}+2,00998\times10^{-7}}{2}=\frac{1,80998\times10^{-7}}{2}=9,0499\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Arredondando convenientemente:
[H^+]\approx9,05\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 5

Calcular o pH a partir de [H^+].
  • Usando \mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+]:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\!\left(9,05\times10^{-8}\right).
  • Separando o logaritmo:
\log_{10}\!\left(9,05\times10^{-8}\right)=\log_{10}(9,05)+\log_{10}(10^{-8})\approx0,9566-8=-7,0434,
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\mathrm{pH}=-(-7,0434)=7,0434\approx7,04.
Comentário de checagem (didático e importante): se tivéssemos ignorado o efeito da água e usado \mathrm{pOH}=-\log_{10}(2,00\times10^{-8}) e depois \mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}, obteríamos um pH ≈ 6,30, que é absurdo pois adicionar base não pode tornar a solução ácida; isso mostra por que tratamos o equilíbrio completo.

Resposta

7,04

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