Pilhas de uma certa marca são acondicionadas de modo casual em embalagens contendo 4 pilhas. O produtor dessa marca opera com probabilidade de 0,04 de uma pilha ser defeituosa. Qual a probabilidade de que uma embalagem tomada ao acaso tenha no máximo duas pilhas defeituosas? Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A ) 0,8493.
B ) 0,9998.
C ) 0,8847.
D ) 0,1416

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos embalagens com 4 pilhas cada, e cada pilha tem uma chance de 4% (ou 0,04) de ser defeituosa. O que queremos saber é qual a probabilidade de, ao pegar uma embalagem aleatória, ela ter no máximo duas pilhas defeituosas. Isso é um problema de probabilidade binomial, que é quando temos um número fixo de tentativas (neste caso, 4 pilhas), duas opções de resultado (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (pilha defeituosa) é constante em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k,
  • $ p $ é a probabilidade de uma pilha ser defeituosa,
  • $ n $ é o número total de pilhas na embalagem,
  • $ k $ é o número de pilhas defeituosas que queremos calcular.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de ter no máximo duas pilhas defeituosas, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $, e depois somar esses valores:
P(X = 0)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
Para $ P(X = 0) $:
P(X = 0)
P(X = 0) = C(4, 0) times 0.04^0 times (1 - 0.04)^4
P(X = 0) = 1 times 1 times 0.96^4
Para $ P(X = 1) $:
P(X = 0) approx 0.96^4 approx 0.8493
P(X = 1)
P(X = 1) = C(4, 1) times 0.04^1 times (1 - 0.04)^3
Para $ P(X = 2) $:
P(X = 1) = 4 times 0.04 times 0.96^3
P(X = 1) approx 4 times 0.04 times 0.8847 approx 0.1416
P(X = 2)

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 2) $:
P(X <= 2)
P(X <= 2) = 0.8493 + 0.1416 + 0.0088

Resposta

A probabilidade de que uma embalagem tenha no máximo duas pilhas defeituosas é aproximadamente 0,9998, ou seja, a alternativa B) é a correta.

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