Determine a área limitada pela curva y = sen (x), e o eixo X em [0 , 2 ], construindo o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área limitada pela curva $ y = \sin(x) $ e o eixo X no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Isso significa que vamos calcular a área que está abaixo da curva do seno entre esses pontos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ y = \sin(x) $. Essa é a função seno, que gera uma curva ondulada. No intervalo de 0 a 2, vamos ver uma parte dessa onda. O eixo X, que é a linha horizontal, será nossa base para calcular a área.

Passo 3

Para encontrar a área entre a curva $ y = \sin(x) $ e o eixo X de $ x = 0 $ a $ x = 2 $, usamos a integral definida. A integral nos dá a soma de infinitas fatias pequenas da área sob a curva. A fórmula que vamos usar é:
y = sin(x) Á
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 2 $.

Passo 4

Vamos calcular a integral de $ \sin(x) $. Sabemos que a integral de $ \sin(x) $ é $ -\cos(x) $. Então, aplicando os limites de integração:
sin(x) Á

Passo 5

Agora, substituímos os valores de $ x $:
x Á
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então fica:
Área = -cos(2) + cos(0) Á

Passo 6

Para encontrar o valor numérico, calculamos $ \cos(2) $. Aproximadamente, $ \cos(2) \approx -0,4161 $. Substituindo:
cos(2) Á

Resposta

A área limitada pela curva $ y = \sin(x) $ e o eixo X no intervalo de 0 a 2 é aproximadamente 1,4161 unidades quadradas.

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