Determine a área limitada pela curva y = sen (x), e o eixo X em [0 , 2 ], construindo o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área limitada pela curva $ y = \sin(x) $ e o eixo X no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Isso significa que vamos calcular a área que está abaixo da curva do seno entre esses pontos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ y = \sin(x) $. Essa é a função seno, que gera uma curva ondulada. No intervalo de 0 a 2, vamos ver uma parte dessa onda. O eixo X, que é a linha horizontal, será nossa base para calcular a área.
Passo 3
Para encontrar a área entre a curva $ y = \sin(x) $ e o eixo X de $ x = 0 $ a $ x = 2 $, usamos a integral definida. A integral nos dá a soma de infinitas fatias pequenas da área sob a curva. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 2 $.
Passo 4
Vamos calcular a integral de $ \sin(x) $. Sabemos que a integral de $ \sin(x) $ é $ -\cos(x) $. Então, aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora, substituímos os valores de $ x $:
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então fica:
Passo 6
Para encontrar o valor numérico, calculamos $ \cos(2) $. Aproximadamente, $ \cos(2) \approx -0,4161 $. Substituindo:
Resposta
A área limitada pela curva $ y = \sin(x) $ e o eixo X no intervalo de 0 a 2 é aproximadamente 1,4161 unidades quadradas.