Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um retângulo com um perímetro de 100 metros e precisamos encontrar suas dimensões (comprimento e largura) de modo que a área seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização.

Passo 2

Vamos lembrar que o perímetro $ P $ de um retângulo é dado pela fórmula:
P
Onde $ L $ é a largura e $ C $ é o comprimento.

Passo 3

Sabemos que o perímetro é 100 metros. Substituindo na fórmula:
2 times (L + C) = 100
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
L + C = 50

Passo 4

Queremos maximizar a área $ A $ do retângulo, que é dada por:
A
Mas como já temos $ L + C = 50 $, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar $ C $:
A = L times C

Passo 5

Agora, substituímos $ C $ na expressão da área:
C
A = L times (50 - L)

Passo 6

Para encontrar o valor de $ L $ que maximiza a área, vamos derivar a função $ A(L) $ em relação a $ L $ e igualar a derivada a zero:
L
Igualando a zero:
A(L)
L
dAdL = 50 - 2L

Passo 7

Agora que encontramos $ L = 25 $ metros, podemos encontrar $ C $:
L = 25 metros.

Resposta

As dimensões do retângulo que maximiza a área são 25 metros de largura e 25 metros de comprimento, ou seja, ele é um quadrado de lado 25 metros.

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