Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um retângulo com um perímetro de 100 metros e precisamos encontrar suas dimensões (comprimento e largura) de modo que a área seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização.
Passo 2
Vamos lembrar que o perímetro $ P $ de um retângulo é dado pela fórmula:
Onde $ L $ é a largura e $ C $ é o comprimento.
Passo 3
Sabemos que o perímetro é 100 metros. Substituindo na fórmula:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Queremos maximizar a área $ A $ do retângulo, que é dada por:
Mas como já temos $ L + C = 50 $, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar $ C $:
Passo 5
Agora, substituímos $ C $ na expressão da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ L $ que maximiza a área, vamos derivar a função $ A(L) $ em relação a $ L $ e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 7
Agora que encontramos $ L = 25 $ metros, podemos encontrar $ C $:
Resposta
As dimensões do retângulo que maximiza a área são 25 metros de largura e 25 metros de comprimento, ou seja, ele é um quadrado de lado 25 metros.