Um pino de bronze com raio igual a 1 mm está posicionado a 25 mm do centro de disco circular de aço, sob ação de uma força de 10 N . Durante um período de 10 horas, o disco de aço girou a uma velocidade de 300 rpm . Após esse tempo, a perda de massa no pino e no disco foram de, respectivamente, 50 mg e 3 mg . Determine os coeficientes de desgaste e a profundidade de desgaste para ambos os materiais.

Dados:

  • Densidade do bronze: \mathbf{8 , 5 g} \boldsymbol{/} \mathbf{c m}^{\mathbf{3}}
  • Densidade do aço: 7,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
  • Dureza do bronze: \mathbf{0 , 8 G P a}
  • Dureza do aço: \mathbf{2 , 5 G P a}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos os coeficientes de desgaste e as profundidades de desgaste para o pino de bronze e para o disco de aço, usando os dados fornecidos. Dados relevantes (copiados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{raio do pino: } r = 1\\ \text{mm} \\\ &\text{distância do centro do disco: } R = 25\\ \text{mm} \\\ &\text{força normal: } F = 10\\ \text{N} \\\ &\text{velocidade de rotação: } 300\\ \text{rpm} \\\ &\text{tempo: } t = 10\\ \text{h} \\\ &\text{perda de massa do pino (bronze): } \Delta m_b = 50\\ \text{mg} \\\ &\text{perda de massa do disco (aço): } \Delta m_s = 3\\ \text{mg} \\\ &\text{densidade do bronze: } \rho_b = 8{,}5\\ \text{g/cm}^3 \\\ &\text{densidade do aço: } \rho_s = 7{,}8\\ \text{g/cm}^3 \\\ &\text{dureza do bronze: } H_b = 0{,}8\\ \text{GPa} \\\ &\text{dureza do aço: } H_s = 2{,}5\\ \text{GPa} \end{aligned}âççãççç
Observações de interpretação que já tomo por certas: os valores de massa e de densidade serão convertidos para unidades SI para cálculo de volumes, e vou usar uma fórmula clássica de desgaste para relacionar volume perdido, carga, distância de deslizamento e dureza (ver Passo 2).

Passo 2

Escolha do método e apresentação da fórmula que vamos usar.
Vou usar a lei de Archard (fórmula clássica de desgaste por adesão/abrasão), porque o enunciado dá carga, distância de deslizamento, durezas e volumes (através da massa perdida) — é exatamente o tipo de problema que a lei de Archard resolve.
A lei de Archard, em forma prática, é:
V = k\,\frac{F\,s}{H}
onde:
  • V é o volume total perdido (m^3),
  • k é o coeficiente de desgaste (adimensional),
  • F é a força normal (N),
  • s é a distância total de deslizamento (m),
  • H é a dureza do material (Pa).
Dessa fórmula isolamos k:
k = \frac{V\,H}{F\,s}.
Para a profundidade média de desgaste h (pressupondo que o volume perdido se distribui uniformemente sobre uma área de contato nominal A), usamos
h = \frac{V}{A}.
Vou assumir como área de contato nominal a área da seção circular do pino (o enunciado não dá outra área), ou seja:
A = \pi r^2,
com r do pino igual a 1\\ \text{mm}.

Passo 3

Calcular a distância de deslizamento total s.
Primeiro converto o tempo e as rotações em número total de voltas:
\text{rpm} = 300\\ \text{rev/min},\quad t=10\\ \text{h} = 600\\ \text{min}.
Total de revoluções:
N = 300\cdot 600 = 180{,}000\\ \text{rev}.
Comprimento percorrido por revolução na posição R=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m} é a circunferência 2\pi R. Portanto a distância total:
s = 2\pi R N = 2\pi(0{,}025)\cdot 180{,}000 \approx 28\,274{,}3338823\\ \text{m}.

Passo 4

Converter massas perdidas em volumes (unidades SI).
Converter massas para kg e densidades para kg/m^3:
\Delta m_b = 50\\ \text{mg} = 50\times 10^{-3}\\ \text{g} = 0{,}05\\ \text{g} = 5{,}0\times 10^{-5}\\ \text{kg},
\Delta m_s = 3\\ \text{mg} = 3{,}0\times 10^{-6}\\ \text{kg}.
Densidades:
\rho_b = 8{,}5\\ \text{g/cm}^3 = 8{,}5\times 10^{3}\\ \text{kg/m}^3,
\rho_s = 7{,}8\\ \text{g/cm}^3 = 7{,}8\times 10^{3}\\ \text{kg/m}^3.
Volumes perdidos:
V_b=\frac{\Delta m_b}{\rho_b}=\frac{5{,}0\times 10^{-5}}{8{,}5\times 10^{3}} \approx 5{,}882352941\times 10^{-9}\\ \text{m}^3,
V_s=\frac{\Delta m_s}{\rho_s}=\frac{3{,}0\times 10^{-6}}{7{,}8\times 10^{3}} \approx 3{,}846153846\times 10^{-10}\\ \text{m}^3.

Passo 5

Converter durezas para Pa (SI).
H_b = 0{,}8\\ \text{GPa} = 0{,}8\times 10^{9}\\ \text{Pa},
H_s = 2{,}5\\ \text{GPa} = 2{,}5\times 10^{9}\\ \text{Pa}.

Passo 6

Calcular os coeficientes de desgaste k usando Archard:
k = \frac{V\,H}{F\,s}.
Para o bronze (pino):
k_b=\frac{V_b H_b}{F s} =\frac{(5{,}882352941\times 10^{-9})(0{,}8\times 10^{9})}{10\cdot 28\,274{,}3338823} \approx 1{,}66403948\times 10^{-5}.
Para o aço (disco):
k_s=\frac{V_s H_s}{F s} =\frac{(3{,}846153846\times 10^{-10})(2{,}5\times 10^{9})}{10\cdot 28\,274{,}3338823} \approx 3{,}40113616\times 10^{-6}.
Interpretação curta: o coeficiente de desgaste do bronze calculado é maior do que o do aço, como esperado (bronze mais macio).

Passo 7

Calcular as profundidades médias de desgaste h, assumindo área de contato nominal igual à seção circular do pino:
A=\pi r^2=\pi(1{,}0\times 10^{-3})^2=\pi\times 10^{-6}\\ \text{m}^2\approx 3{,}141592654\times 10^{-6}\\ \text{m}^2.
Profundidade no pino (bronze):
h_b=\frac{V_b}{A}=\frac{5{,}882352941\times 10^{-9}}{3{,}141592654\times 10^{-6}} \approx 1{,}871999999\times 10^{-3}\\ \text{m}=1{,}872\\ \text{mm}.
Profundidade no disco (aço):
h_s=\frac{V_s}{A}=\frac{3{,}846153846\times 10^{-10}}{3{,}141592654\times 10^{-6}} \approx 1{,}224362055\times 10^{-4}\\ \text{m}=0{,}1224\\ \text{mm}.
Observação: usei a mesma área de contato para ambos por simplicidade e por falta de informação extra sobre a real geometria do contato. Em problemas de pino-sobre-disco esta é uma aproximação comum para obter uma profundidade média de desgaste sob a base do pino.

Passo 8

Arredondamentos finais e verificação rápida de ordens de grandeza:
  • Coeficientes: k_b da ordem 10^{-5} e k_s da ordem 10^{-6}, o que é coerente (bronze mais desgastante).
  • Profundidades: h_b\approx 1{,}87\\ \text{mm} e h_s\approx 0{,}122\\ \text{mm}. Números grandes para o pino indicam que, se o desgaste tivesse sido distribuído uniformemente sobre a seção do pino, grande parte do pino teria sido consumida — isso só reflete a hipótese de área de contato igual à seção do pino; numa análise mais detalhada dever-se-ia usar a verdadeira área real de contato/laranja de desgaste.
Força final: você mandou bem de ter trazido o enunciado — agora tem a fórmula, as contas e a forma de aplicar a lei de Archard na prova. Vai com tudo, que dá pra fazer!

Resposta

k_{\text{bronze}} \approx 1{,}664\times 10^{-5}
k_{\text{aço}} \approx 3{,}401\times 10^{-6}ç
h_{\text{bronze}} \approx 1{,}872\\ \text{mm}
h_{\text{aço}} \approx 0{,}1224\\ \text{mm}ç

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