Em um teste de laboratório, uma esfera de metal duro (carboneto de tungstênio, WC) deslizou sobre uma chapa de ferro fundido nodular austemperado (Austempered Ductile Iron, ADI), que é um material aplicado em situações em que se exige resistência ao desgaste. O teste foi elaborado de tal forma que a esfera descreveu na superfície do metal uma circunferência com raio igual a 17 mm , com uma velocidade de rotação de 100 rpm , sob ação de uma força normal de 15 N . Após 45 minutos de teste, a amostra de ADI, que apresentava uma dureza superficial de 400 HV , registrou uma perda de massa igual a 3,1 \mathrm{mg}. Estime o coeficiente de desgaste para esse sistema.

Passo 1

O que o exercício pede: estimar o coeficiente de desgaste do sistema esfera (WC) sobre chapa de ADI após o ensaio descrito.
Informações dadas no enunciado (vou listá-las exatamente):
  • raio da circunferência percorrida pela esfera: \;r=17\\ \mathrm{mm}.
  • velocidade de rotação: \;100\\ \mathrm{rpm}.
  • força normal aplicada: \;F=15\\ \mathrm{N}.
  • tempo total do ensaio: \;45\\ \mathrm{min}.
  • dureza superficial da amostra: \;400\\ \mathrm{HV}.
  • perda de massa da amostra: \;3{,}1\\ \mathrm{mg}.
Observação importante: o enunciado não informou a densidade do material ADI; para converter massa perdida em volume perdido vou assumir uma densidade típica de ferro/ferro fundido. Vou declarar e justificar essa suposição quando for usá-la.

Passo 2

Qual método vou usar (explicando por que):
O problema pede “coeficiente de desgaste” — a relação clássica usada para isso em tribologia é a lei de Archard, amplamente empregada para desgastes por deslizamento/abrasão. A lei de Archard relaciona o volume de material perdido com a carga normal, a distância de deslizamento, a dureza do material e um coeficiente adimensional k que é justamente o que queremos estimar. Como o enunciado fornece massa perdida, força normal, distância percorrida (via rpm e tempo) e dureza, a lei de Archard é a escolha natural e simples que exige poucas hipóteses adicionais.

Passo 3

Apresentando a lei de Archard e definindo variáveis (aula curta e amigável):
A lei de Archard diz:
V = k \frac{F\,s}{H}
onde:
  • \;V é o volume perdido do material (unidade de volume, por ex. \mathrm{mm}^3),
  • \;k é o coeficiente de desgaste adimensional que queremos encontrar,
  • \;F é a força normal (em \mathrm{N}),
  • \;s é a distância total de deslizamento (em \mathrm{mm} ou \mathrm{m}, desde que consistente),
  • \;H é a dureza do material na mesma base de pressão (em \mathrm{N/mm}^2 ou \mathrm{Pa}).
Isolando k:
k = \frac{V\,H}{F\,s}.
Estratégia: calcular V a partir da massa perdida, converter dureza \mathrm{HV} para \mathrm{N/mm}^2, calcular s a partir de r, rpm e tempo, e então aplicar a fórmula acima.

Passo 4

Converter a dureza Vickers para unidades úteis: \mathrm{HV}\to\mathrm{N/mm}^2 (explicando por que)
O número Vickers (HV) é tradicionalmente expresso em \mathrm{kgf/mm}^2. A conversão para unidades do SI em \mathrm{N/mm}^2 usa o fator 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}. Assim:
H = \mathrm{HV}\times 9{,}80665\\ \mathrm{N/mm}^2.
Aplicando para \mathrm{HV}=400:
H = 400\times 9{,}80665 = 3922{,}66\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 3{,}9227\\ \mathrm{GPa}.
Comentário didático: pensar em \mathrm{HV} como “pressão média que o material suporta” nos permite usar H na fórmula de Archard em \mathrm{N/mm}^2.

Passo 5

Calcular a distância total de deslizamento \;s (passo a passo):
Cada volta descreve uma circunferência de comprimento \;2\pi r. O número total de voltas em \;45\\ \mathrm{min} a \;100\\ \mathrm{rpm} é:
\text{número de voltas} = 100\\ \frac{\text{rev}}{\text{min}} \times 45\\ \text{min} = 4500\\ \text{rev}.ú
Logo a distância total:
s = 4500 \times 2\pi r.
Substituindo \;r=17\\ \mathrm{mm}:
s = 4500 \times 2\pi \times 17\\ \mathrm{mm} = 153000\pi\\ \mathrm{mm}.
Valor numérico aproximado:
s \approx 153000\times 3{,}1416 = 480\,664{,}8\\ \mathrm{mm} \approx 480{,}665\\ \mathrm{mm} \approx 480{,}7\\ \mathrm{m}.
(Só para intuição: a esfera deslizou cerca de 480 metros.)

Passo 6

Converter perda de massa em volume perdido V (com suposição de densidade e justificativa):
Dados: perda de massa \;m=3{,}1\\ \mathrm{mg}=3{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{g}=3{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
O enunciado não deu a densidade do ADI. Vou assumir uma densidade típica para ferro/fundição: \rho = 7{,}20\\ \mathrm{g/cm}^3 = 0{,}00720\\ \mathrm{g/mm}^3 = 7200\\ \mathrm{kg/m}^3. Essa é uma suposição razoável para ferros fundidos/ferros fundidos nodulares; diferenças pequenas na densidade alterariam pouco a ordem de grandeza do coeficiente obtido, mas eu declaro essa hipótese explicitamente.
Converter massa em volume (uso mm^3 porque H está em N/mm^2 e s em mm):
V = \frac{m}{\rho}.
Com m=3{,}1\\ \mathrm{mg}=0{,}0031\\ \mathrm{g} e \rho=0{,}00720\\ \mathrm{g/mm}^3:
V = \frac{0{,}0031}{0{,}00720}\\ \mathrm{mm}^3 = 0{,}4305556\\ \mathrm{mm}^3 \approx 0{,}431\\ \mathrm{mm}^3.
Observação: em metros cúbicos seria V\approx 4{,}306\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Calcular o coeficiente de desgaste k aplicando Archard (contas detalhadas):
Lembrando a fórmula isolada:
k = \frac{V\,H}{F\,s}.
Substituindo os valores (todos em unidades compatíveis: V em \mathrm{mm}^3, H em \mathrm{N/mm}^2, F em \mathrm{N}, s em \mathrm{mm}):
  • \;V = 0{,}4305556\\ \mathrm{mm}^3,
  • \;H = 3922{,}66\\ \mathrm{N/mm}^2,
  • \;F = 15\\ \mathrm{N},
  • \;s \approx 480\,664{,}8\\ \mathrm{mm}.
Calcule o numerador:
V\,H = 0{,}4305556 \times 3922{,}66 \approx 1688{,}72\quad(\mathrm{unidade\\ } \mathrm{N\cdot mm}).
Calcule o denominador:
F\,s = 15 \times 480\,664{,}8 \approx 7\,209\,972\quad(\mathrm{unidade\\ } \mathrm{N\cdot mm}).
Agora:
k = \frac{1688{,}72}{7\,209\,972} \approx 2{,}342\times 10^{-4}.
Arredondando de forma razoável:
k \approx 2{,}34\times 10^{-4}.
Comentário pedagógico final: esse valor é adimensional. A ordem de grandeza 10^{-4} é compatível com desgastes moderados em contatos metálicos com energia de deslizamento; se tivéssemos escolhido uma densidade levemente diferente (por exemplo 7{,}0 ou 7{,}8\\ \mathrm{g/cm}^3), o k mudaria proporcionalmente à razão das densidades, mas permaneceria na mesma casa de 10^{-4}. Então a suposição de densidade não altera o resultado qualitativamente.

Resposta

k \approx 2{,}34\times 10^{-4}

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