Uma pirâmide hexagonal regular tem área da base igual a 18 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2}. Sabendo-se que sua altura é igual ao triplo do apótema da base, então seu volume é:
a) 36 \mathrm{~m}^{3}
b) 27 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{3}
c) 36 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{3}
d) 54 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{3}
e) 81 \sqrt{6} \mathrm{~m}^{3}

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide regular de base hexagonal com área da base A_b = 18\sqrt{3}\,\mathrm{m}^2 e altura h igual ao triplo do apótema da base. O que vamos usar:
  1. Fórmula da área de um hexágono regular em função do lado s.
  2. Relação entre apótema a_b e lado s.
  3. Fórmula do volume da pirâmide V = \tfrac{1}{3}A_b\,h.

Passo 2

Para um hexágono regular de lado s, a área é
A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2.

Passo 3

Igualando à área dada, temos
\frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2 = 18\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad s^2 = \frac{18\sqrt{3}\times2}{3\sqrt{3}} = 12 \quad\Longrightarrow\quad s = 2\sqrt{3}\,\mathrm{m}.

Passo 4

O apótema do hexágono é
a_b = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s = \frac{\sqrt{3}}{2}\times2\sqrt{3} = 3\,\mathrm{m}.

Passo 5

Como h = 3\,a_b, segue
h = 3\times3 = 9\,\mathrm{m}.

Passo 6

O volume da pirâmide é
V = \frac{1}{3}\,A_b\,h = \frac{1}{3}\times 18\sqrt{3}\times 9 = 54\sqrt{3}\,\mathrm{m}^3.

Resposta

d) 54 \sqrt{3}\,\mathrm{m}^3

Exercícios relacionados