determinar as derivadas \frac{d y}{d x} e \frac{d z}{d x}.
Passo 1
O enunciado define duas funções implícitas y=y(x)\) e \(z=z(x)\) sujeitas ao sistema
\[\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\\ x+y+z=2, \end{cases}
e pede as derivadas \frac{dy}{dx}\] e \(\frac{dz}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita em cada equação e resolver o sistema linear resultante em y' e z', onde y'=\frac{dy}{dx} e z'=\frac{dz}{dx}.
Passo 2
Diferenciando a primeira equação em relação a x temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=0
que dá
2x + 2y\,y' + 2z\,z' = 0.
Diferenciando a segunda equação
\frac{d}{dx}(x+y+z)=0
resulta em
1 + y' + z' = 0.
Passo 3
Dividindo a primeira diferenciação por 2 e reescrevendo o sistema, obtemos