(3.5 pontos) Supondo que as funçöes diferenciáveis y=y(x) e z=z(x), z>0, sejam definidas implicitamente pelo sistema
\left\{\begin{array}{r} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\\ x+y+z=2 \end{array}\right.
determinar as derivadas \frac{d y}{d x} e \frac{d z}{d x}.

Passo 1

O enunciado define duas funções implícitas y=y(x)\) e \(z=z(x)\) sujeitas ao sistema \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\\ x+y+z=2, \end{cases}
e pede as derivadas \frac{dy}{dx}\] e \(\frac{dz}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita em cada equação e resolver o sistema linear resultante em y' e z', onde y'=\frac{dy}{dx} e z'=\frac{dz}{dx}.

Passo 2

Diferenciando a primeira equação em relação a x temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=0
que dá
2x + 2y\,y' + 2z\,z' = 0.
Diferenciando a segunda equação
\frac{d}{dx}(x+y+z)=0
resulta em
1 + y' + z' = 0.

Passo 3

Dividindo a primeira diferenciação por 2 e reescrevendo o sistema, obtemos
\begin{cases} x + y\,y' + z\,z' = 0,\\\\ 1 + y' + z' = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação isolamos
z' = -1 - y'
e substituímos na primeira:
x + y\,y' + z(-1 - y') = 0 \quad\Longrightarrow\quad y\,y' - z\,y' - z = -x.
Agrupando y':
(y - z)\,y' = z - x \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{z - x}{y - z}.

Passo 5

Para z' usamos z' = -1 - y':
z' = -1 - \frac{z - x}{y - z} = \frac{-(y - z) - (z - x)}{y - z} = \frac{x - y}{y - z}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{z - x}{y - z}, \qquad \frac{dz}{dx} = \frac{x - y}{y - z}.

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