Uma pirâmide quadrangular regular tem a por aresta da base e 2 a por aresta lateral. A altura e o volume dessa pirâmide medem, respectivamente:
a) \frac{a \sqrt{15}}{2} \mathrm{e} \frac{a^{3} \sqrt{15}}{3}
b) \frac{a \sqrt{3}}{2} e \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}
c) \frac{a \sqrt{14}}{2} \mathrm{e} \frac{a^{3} \sqrt{14}}{6}
d) \frac{a \sqrt{12}}{2} \mathrm{e} \frac{a^{3} \sqrt{12}}{3}
e) \frac{a \sqrt{10}}{2} \mathrm{e} \frac{a^{3} \sqrt{10}}{3}

Passo 1

Temos uma pirâmide quadrangular regular de aresta de base a e aresta lateral 2a. Precisamos achar a altura h e o volume V. Vamos usar a geometria da pirâmide regular e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

O centro da base até um vértice da base mede metade da diagonal do quadrado de lado a. Como a diagonal vale a\sqrt2, essa distância é
r = \frac{a\sqrt2}{2}.

Passo 3

No triângulo retângulo formado pelo ápice, pelo centro da base e por um vértice da base, a hipotenusa é a aresta lateral 2a e um cateto é r. Pelo teorema de Pitágoras,
h^2 + \Bigl(\frac{a\sqrt2}{2}\Bigr)^2 = (2a)^2.

Passo 4

Calculando h,
h^2 = 4a^2 - \frac{2a^2}{4} = 4a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{8a^2 - a^2}{2} = \frac{7a^2}{2},
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h = \sqrt{\frac{7a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{2}.

Passo 5

O volume de uma pirâmide é V = \tfrac13 B\,h, com B=a^2. Então
V = \frac{1}{3}a^2 \cdot \frac{a\sqrt{14}}{2} = \frac{a^3\sqrt{14}}{6}.

Passo 6

A altura e o volume obtidos coincidem com a alternativa (c).

Resposta

(c)

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